Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Система квазилинейных уравнений 7.1. Частный случай.
(а) Пусть для функции z = z{r) дана система dz
dxv
:/v(r. г). v=l.....п. (1)
Здесь г снова обозначает набор х{, . . ., хп, коэффициенты f предполагаются в рассматриваемой области ®(r, z) непрерывно дифференцируемыми1). Тогда каждый интеграл (1) дважды непрерывно дифференцируем, а потому имеется соотношение
дх^ dxv dxv дхц
V, (.1=1,
Отсюда вытекает, принимая во внимание уравнения (1), что для каждого интеграла z системы (1) справедливы равенства
К +ЯГ=ГХ +/1Л Кн. v<«. (2>
') Система (1) иногда записывается также в виде одного дифференциального уравнения
п
dz = 2 /V (r.*) dxv
v=l
Однако следует иметь в виду, что это уравнение обычно понимают как сокращенную запись уравнения
= У Л (г г)^-Ш Z* {Г' ' dt '
v=l
для которого требуется определить функции z (t), хх (t).....xn(f), удовлетворяющие этому уравнению.
7.1] § 7. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 75
имеет интеграл z — ф (г) с начальным значением
*Gi. ¦¦:U = V). (la)
(б) Интеграл этот может быть построен, например, последовательным решением уравнений. Для этого сначала рассматривают первое из уравнений (1) в специальной форме
^¦ = /1f*i- Ь.....Ь.. *>
с начальным условием
* (Si. i2..... и = с
Это обыкновенное дифференциальное уравнение; пусть его решение z — ф1 (Xj) найдено. Второй шаг состоит в решении уравнения
-g^=f2(x1, Х2, |з. &„. 2)
с начальным условием
I2. Ез. •... и = Ф1(^1).
причем теперь Х] рассматривается как параметр. Это снова обыкновенное дифференциальное уравнение; пусть z = ф2 (xt, х2) — его решение. На следующем шаге решается задача
-gj^==f3(.xl' Х2- х3< 14' Z).
Z(Xj, х2, ?3.....|„) = ф2(*1, х2),
') См. A. J. М а с i n t у г е, Proceedings Edinburgh math. Soc. (2) 4 (1935), стр. 112—117; L. Bruwier, Bulletin Liege 8 (1939), стр. 105—116; Т. Y. Thomas, Annals of Math. 35 (1934), стр. 730—734; W. Mayer, T. Y. Thomas, Math. Zeitschrift 40 (1936), стр. 658—661; P. О i 1 1 i s, Bulletin Liege 9 (1940), стр. 197—212; W. VV i r t i n g e r. Monatschefte f. Math. 34 (1926), стр. 81—88.
Если эти равенства выполняются тождественно относительно гиг, то (1) называется инволюционной системой. Равенства (2) называются условиями интегрируемости системы (1). Если функции fv в области l*v — Ы<я<со (v=l.....и). \z — ?| < ?<со,
где .... |„, ?) — фиксированная точка, непрерывно дифференцируемы и ограничены, например |/v|<C/4, и если выполнены условия интегрируемости (2), то система (1) в области
К—Ы<а (v==1.....в).
где
76 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |7-2
д%
У«*Л (3)
v=l
а из начальных условий следует, что
% (0, и„ .... «„) = ?• (4)
Уравнение (3) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с параметрами иь .. ., ип. Если % — его решение, удовлетворяющее начальному условию (4), то
* = % (1, х,— |,.....хп — 1„)
— искомый интеграл системы (1).
7.2. Общая квазилинейная система. Она имеет вид
я
2/">. z) ¦g^ = g»(r. г). М = 1.....т. (5)
v=l V
и является частным случаем теории § 14. Следовательно, справедливо приведенное там утверждение. Преобразованием, указанным в п. 12.3 (а), система (5) может быть приведена к однородной системе
2/,lv(r, z)*L + g»(r. *)? = 0. .... т. (6)
v=l
причем X], х2 рассматриваются как параметры, и т. д. Последним шагом является решение задачи
~2jx~^==f (хъ •••» хп' z)' z(xt.....xn_lt |„) = Ф"-,(-*Ч. х„-д,
где хг, .... хп_х — параметры. Ее решение г = ф(хх.....хп)
является, как устанавливается с помощью условии интегрируемости, искомым интегралом системы (1).
(в) Интеграл системы (1), удовлетворяющий условию (1а), можно искать, следуя методу Майера (см. п. 6.4). Если положить
% (". "i.....un) = z(r);
xv = lv + uuv> v== 1.....
то из системы (1) получаем уравнение
7.21
§ 7. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
77
Пусть функции (г, z), g^ (г, z) непрерывны в области ©„+] (г, z); пусть w = ф (г, г) — интеграл однородной системы (6) в ©„+1. Далее, пусть %(г) непрерывная функция в ®п(г), для которой точка (г, z = xW) лежит в ®nf.v коль скоро г принадлежит ©„, и для которой
Ф(>". X (*")) = const;
ФДЛ ни в какой подобласти области ©„.
Тогда z = %(r) — интеграл системы (5) (ср. с п. 5.4). Иначе говоря, интеграл системы (5) получается из интеграла w = \jp(r, z) системы (6) разрешением уравнения ф = 0 относительно z.
ГЛАВА II
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология
8.1. Геометрическая интерпретация уравнения. Общее (нелинейное) дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции z~z (х, у) двух независимых переменных имеет вид
'(-¦**¦-?• ¦?)-» <¦>
г дг дг
или, если снова использовать обозначения р = —, а — -5—,
г дх ду
F(x, у, z, р, q)~0; (la)
при этом F—F(x, у, z, р, q) — данная функция, которая предполагается имеющей в области ®(х, у, z, р, q) пространства х, у, z, р, q непрерывные частные производные первого порядка по всем пяти переменным.
