Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
б) функция ф (г, х (/")) постоянна в области ©я. Тогда х (/") — инте-трал 2) квазилинейного уравнения (1) в области ©п.
Характеристическими уравнениями дифференциального уравнения (4) являются, согласно п. 3.2, характеристические уравнения (2) ^квазилинейного уравнения (1).
Пример. (y + z)2-^- — x(y+2z) ~xz.
Требуется найти интегральную поверхность, проходящую через кривую z = x2, у = 0.
Сначала попытаемся получить интеграл соответствующего линейного -однородного дифференциального уравнения
, . ч dw , , _ . dw , dw
^Характеристические уравнения этого.последнего уравнения
x'(t) = (y + z)\ у'(') = -¦* (У+2*). z'(t) = xz шам дают соотношения:
(у + z) z'-\- (у' + z') z = 0, хх' + yy'—zz' = 0, т. е., в силу п. 3.3, уравнение (*) имеет интегралы
*i (-*". У. г) = (у + z) z, ip2(x, у, z)=*x2 + y2—z2.
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 55.
') См. К a m k е, DGlen, стр. 335—340.
Более того, они образуют интегральный базис: для произвольной непрерывно дифференцируемой функции Й (и, ») выражение
"Ф (х, y,z) = Q (г!з, (х, у, z), -ф2 (х, у, z)) (**>
также является интегралом уравнения (*).
Если теперь разрешить уравнение -ф = 0 относительно z и его решение z = х (х, у) удовлетворяет указанным выше предположениям, то % — интеграл исходного квазилинейного дифференциального уравнения. Этот интеграл, должен при у = О иметь значение г = Xs, причем интеграл z должен удовлетворять уравнению Q (и, v) = 0. Следовательно, это уравнение, в частности, должно быть справедливо при
и = т])| (х, 0, х2) = х\ v = -ф2 (х, 0, х2) = х2 — х<;
из этих соотношений следует: (и -j- v)2 з= и. Значит, например, для Q (и, v) = — (u-\-v)2 — и начальные условия выполнены и из (**) получаем:
$=(x2 + y2 + yz)2-(y + z)z.
Разрешая уравнение -ф = 0 относительно г, мы получим интеграл исходного» уравнения.
л
5.5. Частный случай: р-f 2 /Л*, У, z)q =g(x, у, г).
(а) Если по крайней мере один из коэффициентов Д, уравнения (1) во всей рассматриваемой области не обращается в нуль, то делением на этот коэффициент мы получаем после несложных вычислений уравнение в виде
п
?+ 2А,<*..?. z) = -f?- = g(x,y, z); (5>
здесь у означает вектор с компонентами ух, .... у„ и z = z (х, у) — искомая функция. Характеристическая система для уравнения (5) записывается так:
y'v(x) = fv(x, у, z), v=l, .... и,
z'(x) = g(x, у, z)
(здесь положено t — л:).
(б) Имеет место следующая теорема существования для решения, задачи Коши В области
\х — 11 < а; у. z — произвольные (7)-
рассмотрим непрерывно дифференцируемые функции /1р .... /„, g с ограниченными частными производными первого порядка по у(4 и z. Пусть абсолютные величины всех этих производных ограничены в совокупности константой А. Далее, пусть со (у)—функция, имеющая по всем у ограниченные непрерывные производные первого порядка. Пусть.
56
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5.5
.абсолютные величины всех этих производных ограничены в совокупности константой С. Тогда дифференциальное уравнение (5) в области
\х —1| < min(а, а), у — произвольное,
где
1 /, , п + 1
(и-И) л V ^ п(С + ] зимеет единственный интеграл z = %(x, у) с начальным значением
Х(ё- У) = (*(У)-Этот интеграл в параметрической записи выглядит так (%, шараметры):
. Т]„, CD(T|i. .
•. Чп. «Он.
z = q(x, I, Th, . .
yv = 4>v(x. I. "Hi. • здесь
z — q>(x,
•Пп)). . Чп)).
v=l.
n;
1,
•Hi.....Ti„, D,
•Hi.....fin, Q
-—интегральная кривая системы (6), проходящая через точку (?,, г\1ш ...
• ¦..л„. О-
Если привлечь получающиеся в п. 12.2 для дифференциального уравнения (5) 2п -4-1 характеристических уравнений, то нетрудно
показать, что введенное выше число а можно увеличить, а именно можно положить '):
1
а =
А(С+1) 1
если и— 1;
(я-
1)Л пС+1
если
Такое число а, вообще говоря, у должно быть введено, хотя характеристики, как легко видеть, в предположениях теоремы существования имеются во всей области |лг-—1| < а. В самом деле, уже в случае п— 1 характеристическая полоса, которая должна лежать в плоскости х, у, с удалением от точки х = \ скручивается и перелетает лежать в плоскости х, у (рис. 18).
¦) См. J. Perau sown a, Annates Soc. Polon. 12 (1934), стр. 1—5; Т. Wazewski, Annates Soc. Polon. 12 (1934), стр. 6—15; E. Kamke, Publications de Tlnstitut Math, de l'Acad. Serbe. 4 (1952), стр. 61—68.
S.6| S 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 57"
') См. О. Р е г г о п, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 557. 2) См. Курант, стр. 78—83. Там же исследуется случай, когда определитель (9) обращается в нуль.
(в) Если дифференциальное уравнение (5) задано не в специальной области (7), а в некоторой более общей области ©„+2(jc, у, z), то можно, по образцу п. 3.6 (в), рассмотреть в качестве области определения коэффициентов область вида (7) или даже все х, у, z-пространство и, таким образом, с помощью (б) вывести теорему существования для подобласти области ©п+2
