Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
v=l ft=l v=l V "
причем внутренняя сумма справа после определения фй имеет значение нуль.
Отметим, что оба метода (а) и (б) сводятся один к другому.
4.3. Теорема существования и единственности. Такая теорема верна в целом в некоторой определенной области лишь в случае, когда один из коэффициентов /v не обращается в нуль 1). Тогда можно, разделив все члены уравнения на этот коэффициент, получить уравнение, имеющее один коэффициент, равный единице. Считая, что коэффициенты зависят еще и от параметра (такие уравнения иногда встречаются; см. п. 6.4), можно записать исходное уравнение в виде
л
•S"+S^v(jc' У' йу7 + ^о(*' у' *-)z = f(x- У- (5)
v=l V
здесь у означает набор у,, .... у„, а X — набор кх.....кт.
Предположение. В области
fl<*<62). — оо<у,.....У„<+с». Л(1<Яй<Л*з)
функции fv (v^> 1) при каждом фиксированном Я, ограничены, а все Д и / непрерывны. Далее, частные производные -j^-i (v=0, 1.....п) и , -—- существуют, непрерывны и ft—1 раз
(ft^l) непрерывно дифференцируемы по всем своим т-\-п~\-\ аргументам. Наконец, рассмотрим в области
— со < У].....у„<+оо, Лц<>,й<Л*
ft раз непрерывно дифференцируемую по всем т-\-п аргументам функцию а>(у, X).
4.41 § 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 47
2 = е~р°
где
* 1
ю(Ч!. •••• ЧЯ. *)+//(*¦ Ф1.....Фп' Х)^^лг>,
5 I
^о=^оС*. I. 41. ч„. *) = //о(*. Ф1.....Ф«. fydx —
известная функция 3).
4.4. Неравенство Хаара. Пусть в области G, определяемой неравенствами 4)
!<х<с; av~\-A(x~ |)<yv<pv — А{х — |), v=l.....я,
6V — av>2,4(c — I).
') См. подстр. прим. 2) на стр. 46.
2) То есть интегральные кривые системы (6), проходящие через точку (L тц.....Ч«)-
3) См. Е. К а m k е, Math. Zeitschrift 49 (1943), стр. 275.
4) (Эта область напоминает усеченную пирамиду, и автор называет ее Pyramidenbereich. — Прим. ред.]
Утверждение. Для любых |, Я, из интервалов а<?<?. ЛЙ<ЯД<Л;>) уравнение (5) имеет в области
а<х<6, — со < уи ..., у„ < -f-oo единственный интеграл
г = ф(лг, у; I, X)
с начальным значением
чЧ|. У. 6. Х) = и(з», X).
Этот интеграл ft раз непрерывно дифференцируем по всем т -f- и -4- 2 аргументам. Если
yv = <Pv(*. 6- TJl.....ч„. >>). v=l.....я,
— характеристические функции 2) системы
y;w=/v(^j. v=i.....я. (б>
то параметрическое представление интеграла таково: yv = 4>v(x. I, тц.....ч„. >¦). v=l.....я,
48
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|4.5
задана непрерывно дифференцируемая функция z (х, у), удовлетворяющая неравенствам
dz
дх
v=l
dz dyv
+ B|z|+C. Л>0, 5>0, С>0; <*(y)<z(i, у)<ы(у),
причем функция и (у) непрерывно дифференцируема при av<Cyv<CPv v = 1, .... п, и такова, что
ю^О; Юу^^-О, v=l, п.
Тогда в области О имеет место неравенство Хаара ')
\z(x, У)\<^(ев(х-®— 1)-\-ев(у),
где yv=yv+A(x—-|), v=l, .... и.
4.5. Дополнения для случая л = 2.
(а) Рассмотрим в прямоугольнике ABCD (рис. 12) со сторонами, параллельными осям, непрерывно дифференцируемые функции f (х, у), g (х, у), h (х, у), причем />0 (/<0). Пусть, далее, L — непрерывно дифференцируемая кривая с отрицатель-
DC J
О
Рис. 12.
Рис. 13.
ной (положительной) производной, соединяющая точки В и D (Л и С), и пусть на этой кривой задана непрерывно дифференцируемая функция (?>(х). Тогда дифференциальное уравнение /> + /(*. y)l = g(x, y)z-\-k(x, у)
имеет в прямоугольнике ABCD единственное решение, принимающее на L значение и 2).
(б) Пусть в трапеции 0-^.х-^.а, \y\-\- Ах -^.Ь (рис. 13) функции f(x, у), g(x, у), /у, gy непрерывны и таковы, что
1/КД 1§1<
Схк
Г) Y1
') См. А. Нааг, Acta Szeged 4 (1928), стр. 1Q3, Atti Congresso Intern.; Bologna, 1928, III, стр. 5—10; N a g u m о, Journal of Math. 15 (1938), стр. 51—56; J. Szarski, Annales Soc. Polon 21 (1948), стр. 7—25, а также п. 12.11 э той книги.
2) См. А. С о 1 и с с i, Atti Torino 64 (1928—29), стр. 219—234.
S.1I § S. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 49
Тогда 1) уравнение
P = f(x, y)q + g(x, у)
имеет в этой трапеции единственный интеграл, обращающийся в нуль при х = 0; для этого интеграла справедлива оценка:
^ Cxk+1 . DeaBxl+l
l2!"^ {k + l)l ' l^yl^ (/ + 1)! '
(в) Рассматривается 2) уравнение
fix, y)p + g(x, y)q=[ph(x, y)-\-k(x, y, p)]z.
Функции / и g в некоторой окрестности точки х = а, у = Ь предполагаются регулярными аналитическими. Кроме того, предположим, что функция k(x, у, р) разлагается в асимптотический ряд
со
ft — 2 yv(x, y)p'v
v=0
с коэффициентами yv(x, у), которые в той же окрестности являются регулярными аналитическими. Если положить
z = u(x, у, р)*ч><-*. у)р,
то из данного уравнения следует:
«Р WVx + g4>y — А) + /"ж + — *« = о.
Если выбрать в качестве ф решение линейного дифференциального уравнения
то мы придем к уравнению
fux + guy = ku-
для решений которого можно получить асимптотическое представление.
и
§ 5. Квазилинейное уравнение: 2/v(r» z)pv~ S(r> z)3)
