Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 27

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 82 >> Следующая


х(г) = ^(ф1.....ф') (22)

удовлетворяла второму из уравнений (19)3), т. е. чтобы

v=l р=1 УР v

Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде

р=1 р

или, в силу определения фр, в виде

2фР+1Ч'у ==0; p=i р

') Получить более точную формулировку предположений, при которых описываемый метод ведет к цели, можно без труда.

2) См. Е. О о u г s a t, Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921, стр. 77—81.

3) Функция x (г) удовлетворяет первому из уравнений (19), в силу 6.6 (а).

справедливо для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций z(r). Далее, пусть ф1 (г)—достаточное число раз дифференцируемый1) интеграл первого из уравнений (19).

Попытаемся теперь по методу Якоби2) получить общее решение двух первых уравнений системы (19), затем общее решение первых трех уравнений этой системы и т. д. до получения общего решения системы (19). В силу условий интегрируемости (20), имеем: FlF2^ = = F2Fltyl = 0, так как по предположению F1^1 = 0. Поэтому функция ф2 = /^ф1 также удовлетворяет первому из уравнений системы (19). Соответственно устанавливается, что аналогично конструируемые функции

все удовлетворяют первому из уравнений системы (19). На основании п. 6.6 (б) и (е) можно заключить, что найдется такое число J^.n— 1, что функция ф; +1 представляется как непрерывно дифференцируемая функция от ф1, ф-', т. е.

tf+1(r)=U(tf.....ф'). (21)

72 гл. i. линейные и квазилинейные уравнения [6.7

') Его характеристическая система

У[ (О = УЧ. У-! (О = Уз- • • •> y'j-l (О = У;' У) (О = U (у„ ..., у})

эквивалентна одному дифференциальному уравнению л-го порядка y\i4t) = U(y1,y[,...,y\i-V).

наконец, в силу (21), имеем окончательно:

2f\+ytf.....ф0^у,=о.

p=i р >

Если положить

то это уравнение приобретает вид

2yp+lvy+u{yv..., yj)vyro.

Если найдено нетривиальное решение (у1г .... У]) этого линейного однородного уравнения1), то функция (22) является общим решением двух первых уравнений системы (19).

Теперь попытаемся, зная функцию %, получить общее решение трех первых уравнений системы (19). Как и ранее, первые шаги следуют из соотношений (20): функции

X1 = X. X2 = X3 = Fh2> • • •

удовлетворяют одновременно двум первым уравнениям системы (19). Пусть k — такое наименьшее число, что

%*+1 = V(xl.....X*)

— непрерывно дифференцируемая функция первых k интегралов у®. Найдем функцию Ф^, .... уь) такую, что Ф(у}(г), .... %к(г)) удовлетворяет также третьему уравнению системы (19). Для Ф получим снова некоторое однородное линейное дифференциальное уравнение, и т. д.

Если процесс преждевременно не оборвется, получают, наконец, нетривиальное решение системы (19). Этот метод громоздок, но все же во многих случаях бывает полезен, например, когда известно лишь некоторое частное решение системы (12).

Пример. Пусть дана инволюционная система

P3 + xiPi = 0. Р2 + х2р^ — 0, />j+(3.*2 + *з)/>4 = 0.

Непосредственно видно, что функция = хххъ — xt является решением первого уравнения. Далее, имеем:

6.8! § 6. система линейных уравнений 73

следовательно, j — 2, U — —1. Тем самым для функции W(yu у2) получено дифференциальное уравнение У^Ух— =0 с решением Ч — 2ух-\-у\. Поэтому общим решением двух первых уравнением будет

% = X1 = 2 (х,х3 — х4) + х\.

Далее, находим:

х2 = FY = - бдс?. X3 = ^ЗС2 = - 12*, = - 1^4х"2;

поэтому ft = 2, х3 = У Oc'i X2) = — V—24х2, а для Ф получается дифференциальное уравнение

с решением

1 -

Ф(У1, У2) = У.+—т=-(—у2)2-зу 6

Таким образом, общее решение системы имеет вид Ф %2), т. е.

2(V3 — ^4> + 4 + 24

6.8. Редукция общей системы. Пусть общая линейная система (1) имеет в области © (г) непрерывно дифференцируемые коэффициенты, и пусть она там полная (см. п. 6.3 (б)). Пусть для соответствующей линейной однородной системы (12), которая также полна, известен интегральный базис фш+ (г), .... ф" (г):

д(Ут+1.....У)

д (хт+1.....хп)

Пусть область © (г) преобразованием

У1 = *1.....Ут=*т. Ут+1 = ^т+1(Г)' •••• Уп^Ч1"^) (23)

взаимно однозначно отображается на область © (у). Наконец, пусть в области © (г)

detl/^fr) | =1*= 0 (ц, v=l, .... m). (24)

Тогда интегралы системы (1), будучи непрерывно дифференцируемыми функциями z(r) — ?00. удовлетворяют системе

m

2 ^ О» ^ + ОО С = А* О». !' = 1.....«¦ (25)

v=l V

Здесь g*™, — функции, полученные из и g^ соответственно заменой переменных (23). Система (25) в случае, если ф^ дважды непрерывно дифференцируемы, в силу 6.5 (а), снова полна и может быть записана, согласно (24), в форме

74

ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

[6.9

В силу 6.5 (в), эта последняя система инволюционна. Если все —О, то получается

т

1= /2o,l(>.)rfyV + S(>Wl.....у„),

где Q — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

6.9. Методы решения. Если задана система (1), то прежде всего надо установить, полна ли она. Если это не так, то ее дополняют, согласно п. 6.3 (в), до некоторой полной системы. Затем решают соответствующую однородную систему. Для этого в нашем распоряжении имеются методы п. 6.6 или метод Майера (см. п. 6.4). Этот последний особенно полезен тогда, когда требуется найти решение с заданным начальным условием. Если данная система не однородна, то можно, согласно п. 6.8, использовать решение однородной системы.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed