Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(г) Пример.
дг . дг _
дх ду
Требуется найти интеграл z (х, у) с начальным значением z (О, у) = <о (у> при заданной функции <в.
Характеристические уравнения у' (л:) = 1, z' (х) = z дают нам следующее выражение для характеристики, проходящей через точку (|, т), ?):
У = Ч>1 (х, \, ч, ?) = * — ? + 4. z = y(x, I, г), Q = Ух~%.
Поэтому, в силу начальных условий,
у = х -\- г), г — еха (п)
— параметрическая запись искомого интеграла. Можно еще исключить параметр тр выражение
z = е-*<о (у — х)
даст искомый интеграл, даже если для функции <в выполнены не все предположения теоремы существования.
5.6. Решение задачи Коши.
(а) Формулировка обобщенной задачи Коши для дифференциального уравнения (1) дословно такая же, как и в п. 3.7 (б) в области © (г), которая задана параметрически
xv = uv(tlt ..., г„_!), v= 1.....и;
требуется найти интеграл уравнения (1), принимающий заданное значение
z = u(tl.....tn_x). (8>
Задача разрешима при следующих предположениях 2). Пусть коэффициенты Д, (г, г) и ^ (г, z) определены в области © (г, z), пусть функции uv и и в некоторой области Н(tu .... r„_i) непрерывно дифференцируемы. Множество точек z), где r?©, a z
-58
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[5.7
определяется по формуле (8), должно принадлежать ©. Наконец, ¦определитель
....."п- «)...../п(«1.....ип> «)
дил дип
dtl '
dt,
ди„
dtn-,
фО
(9)
;в области И. Через точки множества проводят характеристики
xv = <pvV, и,, .
u), v = 1, .
г = ф(г, Kj.....и„, и);
(10)
-первые п из этих уравнений определяют характеристическое поле G (Н). Уравнения (10) — параметрическая запись искомого интеграла в каждой такой части G (Н), которая содержит область ©, которая обладает тем свойством, что точка (г, Z)?®, ив которой разрешение первых п уравнений (10) относительно tt.....¦tn_1, t доставляет нам
параметры как непрерывно дифференцируемые функции от переменных jc,, .... хп. В силу (9), такое разрешение заведомо возможно в достаточно малой окрестности области ©. (б) Для дифференциального уравнения
дг
/О. + У)
дг _ h (х, у)
ду
К' {г)
справедливо также следующее предложение ').
Пусть коэффициенты /, g, h непрерывно дифференцируемы « области (В(х, у), и пусть + > 0. Далее, пусть функции К (и) для «1 < и < к2 пробегает все действительные числа и имеет отличную от нуля непрерывную производную. Тогда указанное дифферен-шальное уравнение имеет интеграл в любой односвязной подобласти g области ©, которая не имеет в конечной части плоскости х, у общих граничных точек с О и в которой функции fug ограничены.
Для Х(и) = и, In и, igu, ctg« правая часть данного дифференциального уравнения соответственно равна h, zh, h cos2 z, —Л sin2 г.
5.7. Разложение в ряды. Если допустить комплексные переменные, то становится справедливой следующая теорема существования 2). Пусть в дифференциальном уравнении (5) коэффициенты fv(x, у, z)
66; М. С1 b г а г i о,
') См. Е. К a m k е. Math. Zeitschrlft 41 (1936), стр. Atti Accad. Lincei (6) 13 (1931), стр. 26—31.
2) [Это — частный случай общей теоремы Ковалевской. См., например, Курант, стр. 50; Степанов, стр. 335; И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961, стр. 22. — Прим. ред.]
6.11
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
59"
и g (х, у, Z) в некоторой окрестности точки (?, r\Y.....цп, ?)•
являются регулярными функциями переменных х, yt, . . ., уп, г, т. е. они разлагаются в этой окрестности в абсолютно сходящиеся! ряды, которые, естественно, являются степенными рядами от х — Ух—чЧ* z—?• Кроме того, пусть со (у)—данная функция от yv ..., уп, регулярная в некоторой окрестности точки (гц.....т]п), и пусть-
t»0li.....т\п) = Ь
Тогда дифференциальное уравнение (5) обладает единственным интегралом, являющимся в некоторой достаточно малой окрестности точки (|, т],, .... т|я) регулярной функцией от х, yv .... уп, которая принимает при х = \ значение
z(l, у) = а>(у).
Коэффициенты искомого степенного ряда
г = 2 <Ч v.....v (х — |)v (yt — riOVl • • • (Уп — ¦Чп?"
v- vi.....vn
получаются подстановкой этого ряда в дифференциальное уравнение (5) и приравниванием соответствующих степеней с учетом начальных условий.
5.8. Методы решения. В ряде случаев можно прийти к цели-методами, указанными в пп. 5.3 и 5.4. Если на этом пути не удается? получить решения, то можно (в случае, если задано начальное значение интеграла) решать приближенно соответствующие характеристические уравнения и получить затем, следуя методам пп. 5.5 или 5.6„ приближенное численное решение.
§ 6. Система линейных уравнений ')
6.1. Частный случай: pv—fv(r), v=l,..., и. Простейшая! система линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для одной неизвестной функции п независимых, переменных имеет вид
дг * , ч , — ^fv(r), v=l.....л,
где снова положено г вместо вектора с компонентами хх, .... хп
