Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
*(Sl. •••• 1т. 3>) = «О0
для произвольных \р, удовлетворяющих условию ар |р Ьру р — 1.....т2).
Доказать это проще всего применением метода Майера. При этом методе независимые переменные хр представляются как функции от аргументов и, ах.....ит, а именно:
*p = ?p4-"«p. р=1, .... m (9)
(преобразование Майера). Тогда из системы (2) для функции % (и, их.....иг, у) = z (г, у) получаем уравнение
%«= 2 &~ь%уь+&*%+&. (Ю)
где
^=2йр/*- k = Q, 1, .... s, ^ = Ь/
p=i p=i
а из начальных условий для z следует, что
%(0, иь .... ит, у)=*а(у). (11)
Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением для %, причем и, у выступают в качестве независимых переменных, а И;.....ит — как параметры. Для решения задачи (10), (11) применяются методы из § 4. Если найдено непрерывно дифференцируемое по всем r-f-s-f-l аргументам решение % задачи (10), (11), то
z(r, 30=2(1, ATj — ii.....xr — lr, у)
является искомым решением системы (2).
Таким образом, якобиева система (2) преобразованием Майера однозначно сводится к одному линейному дифференциальному
') Это предположение может быть заменено также требованием ограниченности всех производных №к для k >¦ 1.
2) Более общую теорему см. Е. Kamke, Math. Zeltschrift 49 (1943), стр. 275.
66 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (6.5
.....хп)
Ф0.
Если система (1) была инволюционной, то получающаяся после указанного преобразования система также будет инволюционной.
(б) Каждая система, алгебраически эквивалентная полной системе, является полной. Точнее, пусть (1) — полная система, и пусть функ-
') Результаты, приводимые здесь, можно найти в книгах: A. R. Forsyth, Theory of Differential Equation, Cambridge, 1906; E. Goursat, Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921.
уравнению. Теоретически этот метод очень удобен, при решении же конкретных задач можно поступать и по-другому.
п dz.dzdz.dz ,
Пример. ~d-xJ = z + -d-y-' "дл~ = 2'+"ду~; и«комая Функция z = z (х,,
-*2. У). Данная система инволюционна.
Для% (и, щ, и2, у) получается линейное дифференциальное уравнение
2в = (ы|-т-и,)(2у+2). (*)
Соответствующим трехчленным линейным однородным уравнением для ЗС _ jjp (ц> у, %) (см. пп. 4.2 или 5.4) является уравнение
~ ("1 + "г) ^у + («1 + "г) 2 Wz = 0.
Для него функции
(и,+ы2)« + У
образуют интегральный базис, и таким образом, решениями будут являться функции
W= %ey — Q [(и, + и2)и + у]
<где Q — произвольная непрерывно дифференцируемая функция). Далее, для уравнения (*) решениями служат функции
% =е-уй[(«,+«2)« + у].
Наконец, для исходной системы получаем интегралы
z — е~ yQ (х, -f- х2 -f- у)
в случае, когда выбраны ?i = ?2 = 0-
6.5. Свойства полной системы').
(а) Каждая полная система (1) (см. п. 6.3 (б)) преобразованием
z(xx.....*„) = ?(У1.....Уп). yv = Xv(xi.....х„), \=1.....п,
переводится снова в полную систему, если функции xv дважды непрерывно дифференцируемы в области ®(г), эта область взаимно однозначно переводится в некоторую область у1( .... у„-пространства, и если
д(зо. %п)
«.6J . § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 67
5*
ции A^ir) (ц, v= 1, ..., m) непрерывно дифференцируемы в ©(г), и det | A^v I ф 0. Тогда если определить операторы и функции
т т
g»= 2 \У « а11 (г) - 2 V** (»•)¦ tl=1.....m-
то система
G^z — (г), ji= 1.....т,
— полная.
(в) Пусть в области ©(г) задана полная система (1), причем т<^.п. Если во всей области © некоторый фиксированный минор порядка т матрицы коэффициентов
С/1") G*=i.....«; v=l.....я)
отличен от нуля, например,
detj/^I^O (ц, v=l.....т),
то система (1) относительно —..... — однозначно разрешима
ОХ, С-*7и
и в этом разрешенном виде инволюционна.
6.6. Однородные системы. Система (1) называется однородной системой, если все /ц0 = 0 и все — т. е. если система имеет вид
v=l
При этом о коэффициентах fw пока предполагается, что они все в области ©(г) непрерывны.
(а) Если я])1 (г), г|з*(г) — интегралы уравнения (12), то для произвольной дифференцируемой функции S(«i.....uk), определенной для значений V1, сложная функция й(-ф!.....i])ft) является
интегралом уравнения (12).
$б) Если т < п и ранг матрицы коэффициентов (/M'v) ни в какой подобласти области © не меньше т, то для любых п—m-f-1 интегралов ^(r).....i])"~m+1(r) системы (12) все определители порядка
п — т -|- 1 матрицы
д(*1.....хп)
обращаются в области © в нуль.
(в) Если т < п и матрица коэффициентов (/**v) ни в какой подобласти области © не имеет ранг, меньший т, to п — т интегралов
68 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |6.7
ф!(г).....ф"-'" (г) системы (12) называются интегральным базисом
(фундаментальной системой интегралов) системы (12) в том случае, если функциональная матрица
а(Ф*.....у-т)
д (ху.....хп)
ни в какой подобласти области © не имеет ранг, меньший п — т.
(г) Если система (12) имеет в области © интегральный базис
