Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
2) Этот факт верен не только для дважды непрерывно дифференцируемых'функций 2, но н для функций, лишь один раз непрерывно дифференцируемых. См. Е. Schmidt, Monatshefte f. Math. 48 (1939), стр. 426—432; О. Perron, Math. Annalen 117 (1941), стр. 687—693; A. Ostrowskl, Commentarii math. Helvetic! 15 (1942), стр. 217—221.
n I n 1
V . V* f fW> fvft fvp dz i ( mO fvp fvO fnp\ I _
i*j ) dxpV ) \~
p=i k—i i
n
= 2 (?/*-?/*)+^/*-*Y*. (4)
6.31
§ 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
63
руемых функций z, т. е. если коэффициенты системы (1) удовлетворяют так называемым условиям интегрируемости:
^(Г/Гк-/7^)^=0, I*. v== 1.....т; р = 0, 1, .... п, J
? к fk-gvx /*)==/v-/v. и. v=i.....«. ;
(6)
В частности, система (2) инволюционна, если выполнены ее условия интегрируемости:
f?f*) = f?-f?. H.v=l. ....«; р = 0, ... .5,
el = ? ~*1 + /V-/V.|i.v=l. ......
(7)
Система (2) в этом случае называется также якобиевой системой:
(б) Система (1) называется полной, если каждое из соответствующих ей уравнений (4) для любой функции z является лишь линейной комбинацией уравнений самой системы (1), т. е. если для произвольной непрерывно дифференцируемой функции z
т
FnFvz-g")-F*(F»z-g»)^ 2 h(r)(F"z-gk)
k~\
с подходяще подобранными (не зависящими от р и v) функциями Хк(г).
(в) Для решения системы (1) ее преобразуют следующим образом в полную систему.
Если какое-либо из уравнений (1) в ®(г) для произвольной непрерывно дифференцируемой функции z является линейной комбинацией остальных, например,
F»z-g»= 2 h(.r){F»z-g»)
для некоторых функций Я,р(г), то это уравнение можно опустить. В этом случае система (1) сводится к системе с меньшим числом
2
?(</*-
64 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ (6.4
') В литературе (см., например, Е. О о u г s a t, Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre Paris, 1921; С. С a r a-theodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Leipzig und Berlin, 1935) встречается утверждение, что каждая приведенная система состоит не более чем из и-{-2 уравнений, причем об области, для которой должно быть верно это утверждение, ничего не говорится. В доказательстве обычно утверждается, что если какие-нибудь п-\-3 уравнения охватываются матрицей коэффициентов
{f^;f»\ .... /•". ^) (х=1.....« + 3
с числом строк, превышающим число столбцов, то некоторые строки получаются из других линейной комбинацией н, таким образом, для т~^п-\-3 некоторые строки системы (1) могут быть вычеркнуты. Что для каждой фиксированной точки г0 в этом случае некоторые строки есть линейные комбинации других, конечно, верно, но неверно, что это имеет место для тех же строк во всей области @ (г) или хотя бы лишь в достаточно малой окрестности фиксированной, но, вообще говоря, произвольной точки г0. Последнее, однако, становится верным, если матрица имеет в точке г0 ранг, наивысший среди рангов в некоторой окрестности точки г0.
2) В литературе (см. книги, указанные в сноске')) встречается утверждение, что этот случай всегда наступает и что приведенная полная система состоит всегда из n-f-2 уравнений. Это заблуждение покоится на том же ошибочном заключении, которое было разъяснено в примечании ')•
8) В этом неравенстве одни или оба знака равенства могут быть опущены; случаи ар.= — со, ?p = -J-oo не исключаются.
(линейно-независимых) уравнений, которую мы будем называть приведенной ").
В силу п. 6.2 (б), каждое решение системы (1) должно удовлетворять уравнениям (4). Поэтому систему (1) можно дополнить теми из уравнений (4), которые не являются линейными комбинациями уравнений (I). Получается снова система вида (1), но уже с mt уравнениями. Если тх > т, то к полученной системе снова применяют описанные рассуждения (коэффициенты системы (1) предполагаются достаточно гладкими) и т. д. Если после конечного числа шагов -мы уже не встретим новых уравнений2), то полученная система будет полной. Эту систему, согласно 6.5 (в), можно преобразовать в инволюционную. Примеры см. в ч. II, гл. 5.
Необходимое условие разрешимости полученной полной и, таким образом, первоначальной системы состоит во всяком случае в том, чтобы она, рассматриваемая как алгебраическая система уравнений
для величин z, .....~§х~' ^ыла РазРе1!™ма. Если при этом
разрешении все zx^ оказываются равны нулю, то система не имеет никаких решений, кроме тривиальных z = const.
6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы. Пусть в области
ар•<хрйр, р=1...../и3), у произвольно (8)
6.4| § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 65
5 Э. Камке
коэффициенты f^k, /г^>1, системы (2) ограничены1), все f^k и непрерывно дифференцируемы, и пусть условия интегрируемости (7) выполнены (т. е. система (2) является якобиевой; см. п. 6.3 (а)). Далее, пусть задана функция &(у), непрерывно дифференцируемая по любому уц. Тогда якобиева система (2) в области (8) имеет единственный интеграл z — ty(r, у), удовлетворяющий начальному условию
