Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
ф1.....ф"~т, то существует множество интегралов этой системы,
состоящее из непрерывно дифференцируемых функций ф(г), для которых матрица
<?(Ф, .....Г"п)
д(хи ...,хп)
всюду в области © имеет ранг, не превосходящий п—т.
(д) Для однородной якобиевой системы (2) (т. е. fpD=gu = o) в предположениях п. 6.4 в области (8) существует интегральный базис ф!(г, у), .... ф*(г, у), т. е. функциональный определитель
д&.....4^0. (13)
д(У„ .... ys) v '
(е) Пусть задана однородная якобиевая система (2) (т. е.
f^0= g^ = О) в предположениях п. 6.4. Если ф1 (г, у).....Ф*(г. У)—k
раз непрерывно дифференцируемый интегральный базис, так что справедливо неравенство (13), и уравнения
г\х = ^(г0. у), v=l.....s, (14)
однозначно разрешимы относительно ук для фиксированного r0(|i.....?г)
и для произвольных r)v, то множество k раз непрерывно дифференцируемых интегралов ф(г, у) этой системы дается формулой
ф(г, y)=Q№.....ф*),
где Q (ttj.....us) пробегает все k раз непрерывно дифференцируемые функции, определенные для значений фч. Предположение о разрешимости уравнений (14) выполнено, в частности, если <pv (г0, у) = yv; этот интеграл в данном случае называется также главным интегралом.
6.7. Редукция однородной системы.
(а) Пусть в области © (г) для данной однородной системы (12) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами f*4 известно h частных интегралов ф*(г), ф'Чг), для которых
Й (*t.....-*ft)
6.71 § 6. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 69
Можно пытаться упростить эту систему посредством введения новых независимых переменных
у1=Ф(Г). •••• y* = 4>V). УА+1 = *А + 1.....Уп==*я- (15>
Преобразованием (15) область ©(г) взаимно однозначно отображается на область ©(г); при этом функции /|AV(r) переходят в функции /M'v (у). Тогда решениями системы (12) являются непрерывно дифференцируемые функции z(у) — Ъ(У)> удовлетворяющие системе
v=/l + l
в которой у-у, .... уЛ рассматриваются как параметры.
Если система (12)—полная или инволюционная, то то же самое верно для системы (16) в случае, если функции i]>v дважды непрерывно дифференцируемы.
Пример. pt -f- р2 — 2ps — О,
-f х2р2 — (jc, + х2) ps + x4pt = 0.
Система полная. Функция ф = х, -\- х2 -\- х3 есть, очевидно, интеграл. После замены переменных
z(x,.....*4) = ?(У1.....У4>. У\ =х, +x2-j-xs,
У 2 = х2, уд = xs, у4 = X,
приходим к системе
С* - 2Sy3 = °' У&у, + (Уз -Уд ?Уз + Ул^у, = 0
и для нее находим (например, согласно (б)) интеграл ^2~^~^3-—. Таким
У 4
образом, для первоначальной системы получен интегральный базис
¦ i Хп-Х\
xt+x2 + xs, —1-.
(б) Пусть для какого-нибудь из дифференциальных уравнений (12), например для m-ro, известен интегральный базис ^''(г), .... i]"_1(r). Тогда интегралом этого же уравнения будет также функция
^(ф1.....ф"-1) ПРИ произвольной непрерывно дифференцируемой
функции t(yi.....Ул-i)- Можно попытаться так сузить множество
таких функций ?, чтобы выражения .....ф"-1) удовлетворяли
также остальным уравнениям системы (12). С этой целью подставляют z(r) — Z,(yv .... y„_i) с yv = i]jv(r) в систему (12) и исследуют получающуюся таким образом систему дифференциальных уравнений для ?(}>!.....Уп-О-
Более точно, имеет место следующий факт. Пусть в области ©(г) задана инволюционная система (12), коэффициенты которой
70
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(6.7
непрерывно дифференцируемы. Пусть, например, для т-го уравнения
дважды непрерывно дифференцируемые функции ф'С).....Ф"-1(г)
образуют интегральный базис:
a(V.....V1) , о
д(хи .... *„_,) ^ Посредством преобразования переменных
yj — vV).....У„-1 = Ф"_1С). Уп = х„ (17)
область © (г) отображается на область © (yj, .... у„); при этом вместе с любыми двумя точками (yv .... yn_v уп) и (yt, -.., У„_,. У*) к области © принадлежит также и соединяющая их кривая1). Наконец, пусть ни в какой подобласти области © коэффициенты fmn не обращаются тождественно в нуль. Тогда интегралами системы (12)
являются функции ?(г) = ?(ф , ..., ф"~ ), где С (у,.....Уп-0— Ре~
шения системы
S И=1. .... m—1. (18)
причем
л
^ = УА', ц=1. .... m—1; k=l.....я—1.
и эти функции, после подстановки (17), зависят лишь от yj, ..., y„_j. Система (18), таким образом, снова инволюционна. В качестве примера см. ч. II, 5.2.
(в) Пусть известен интеграл какого-нибудь из уравнений системы (12). Тогда можно попытаться найти, согласно п. 3.5, интегральный базис для этого уравнения и далее применить метод (б). Другой возможный метод решения принадлежит Якоби.
Пусть система (12), записанная в сокращенном виде (см. (1а))
/^2 = 0, р= 1.....т, (19)
с оператором
v=l
инволюционна, т. е. равенство
F*F°z = FaFpz (1 < о, р < т) (20)
') Если это не так, то область @ следует соответствующим образом уменьшить.
6.7] § 6. система линейных уравнений 71
причем
<Э {*\.....Xj)
Теперь так определим непрерывно дифференцируемую функцию VF(y,.....yj), чтобы сложная функция
