Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
v= 1
5.1. Геометрическая интерпретация. Квазилинейное4) дифференциальное уравнение в частных производных первого
•) См. О. Perron, Math. Zeitschrift 27 (1928), стр. 554.
2) См. W. Sternberg, Sitzungsberichte Heidelberg, 1920, стр. 11.
3) Изложение следует книге Kamke, DOlen, стр. 330—341. [См. также литературу, указанную перед § 1. — Прим. ред.]
4) [Иногда, впрочем, уравнение типа (1) называют почти линейным (если функции fv не зависят от г) или даже просто линейным неоднородным; см., например^ Петровский и Степанов. Термин «квазилинейное уравнение» часто используется для обозначения более широкого класса уравнений. — Прим. ред.]
4 Э. Камке
50
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(5.2
порядка для одной неизвестной функции z — z (хи___, хп) п независимых переменных имеет вид (см. п. 1.1)
я
v= 1 V
или, используя обозначения Pv~~gx~ и г вместо вектора с компонентами хх, .... хп,
п
2ifv(r,z)pv = g(r,z). (la)
v= 1
Очевидно, оно линейно относительно производных искомой функции, в то время как сама эта функция может входить нелинейным образом.
Дифференциальное уравнение (1) будет всегда рассматриваться лишь в такой области ©п + ,(г, z) (п-\- 1)-мерного г, 2-пространства, в которой коэффициенты /у и g непрерывны.
Достаточно наглядная геометрическая интерпретация возможна лишь для п = 2. Если в этом случае записать дифференциальное уравнение типа (1) в виде
fix, У, z)~-\-g(x, у, г)Щ- = п(х, у, z), + > 0.
то каждой точке (д;0, у0, z0) пространства будет, в силу этого уравнения, соответствовать плоскостной элемент д;0, у0, z0, р, q, направляющие коэффициенты p. q которого удовлетворяют уравнению
fix0. у0. zjp + g(x0, у0, z0)q = h(x0, у0, z0).
Это уравнение определяет множество плоскостей, проходящих через-прямую
х — x0 — f(x0, у0, z^t, у—Уо — giXQ, у0, z0)t, z — z0 = h(x0, у0. z0)t
(t — параметр), за исключением плоскости, ортогональной к плоскости х, у. В силу дифференциального уравнения, таким образом, каждой точке (х0, у0, г0) будет соответствовать, как и в п. 2.1, пучок плоскостей, но общая прямая этих плоскостей теперь уже, вообще говоря, не параллельна плоскости дг, у (в отличие от п. 2.1).
Б.2. Характеристики и интегральные поверхности.
(а) Под характеристическими уравнениями квазилинейного уравнения (1) понимают систему п -4-1 обыкновенных дифференциальных уравнений
(г. z), v=i,.... и,
*'(0 = ff(r. z).
S.3]
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
51
(Следует заметить, что в последнем уравнении стоит g, а Каждое решение этой системы
= Ф,(0,
:ф„(/), * = ф(/)
не — g.) (3)
называется характеристикой дифференциального уравнения (1). Кривая в г-пространстве, определенная первыми п уравнениями (3), называется характеристической кривой.
(б) Между интегралами и характеристиками уравнения (1) существует следующая связь (ср. с п. 3.2). Рассмотрим в ©„(г) непрерывно дифференцируемую функцию х(г) и точку г, z = %(r), принадлежащую ®„+1. Если через любую точку (glf ...,?„,?) поверхности z — х (г) проходит по крайней мере некоторый кусок Характеристики, целиком принадлежащий поверхности, если
q>(0 = x(«PiC). <р«(0)
для некоторого куска характеристики (3), проходящего через (gj, ... •••> ёп' ?)• то функция z — %(r) в ©„ есть интеграл уравнения (1).
5.3. Решение уравнения посредством характеристик. Согласно п. 5.2 (б), интегралы уравнения (1) являются непрерывно дифференцируемыми поверхностями, которые можно построить из характеристик. Если характеристики некоторого уравнения хорошо обозримы, то можно на основании этого попытаться уже составить представление об интегральных поверхностях. Проиллюстрируем это несколькими примерами.
где |а| + |6|>0.
Характеристические уравнения х' (О = а, у' (0 = Ь. z' (t) = с
показывают, что характеристиками являются линии рис. 14,
x = l-\-at, y = Tj-T-Sr> =
{t — параметр), причем |, rj, ? могут быть взяты произвольно. Иначе говоря, характеристики образуют семейство параллельных прямых, которые, в силу условия | а | -J- | Ь | > 0, ие ортогональны плоскости х, у. Следовательно, интегральными поверхностями являются всевозможные непрерывно дифференцируемые цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны таким прямым •) (рис. 14); ср. с п. 2.4 (а).
(б) (х-a)^L + {y-b)^L = z- с.
Характеристические уравнения
х' (t) = x — а, у' (t) = y — b,
z'(t) = z — c
') [То есть параллельны вектору (а, Ь, с). — Прим. ред.]
4*
52
ГЛ. I. ЛИНЕПНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[S.3
(a,kc)
дают нам следующие характеристики:
х — а — Сув1, у — Ь = С2е', г — с = Cse*
(где Сь С2, С3 — произвольные постоянные), т. е. характеристиками является множество лучей, выходящих из точки (а, Ь, с). Поэтому интегральные поверхности— всевозможные непрерывно дифференцируемые коноиды с вершиной в точке (а, Ь, с) (рис. 15), ср. с п. 2.4 (б).
, ч ч дг . , . дг
(в) (Ьг — Су) — + (сх — аг)-^- =
