Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем еще представление вектора V'-X, где X - принад-
rsj #ч/
лежащий поверхности тензор второго ранга:
* %
V; • X = v" Хв|х Рц + N tr (X • В), (ОО)
/X# (V IV
VpXa'l = dX^ldqt + r"vX^-f Г?т Х"*.
Важное значение для теории оболочек имеет теорема о дивергенции на
поверхности, являющаяся аналогом формулы Остроградского - Гаусса (6.18)
главы I. Для ее вывода воспользуемся формулой Стокса (6.19) главы I.
Я
Предварительно отметим, что тензор произвольного ранга X
Л. 'es*
можно представить в виде следующего разложения:
X == N X X, + NX2. 01431)
/V /V iV
* -> 1-
В самом деле, имея в виду тождество G = -NX(NXG),
IV л
можно .написать
X = Е-Х = (G +"nN)-X == - N X (N X G-X) + NN-X,
fV Л" <V IV IV <V fV iv
откуда
X, = -N X G-X = - N X X =е-Х, X2 = N-X. (1.32)
IV iv' IV IV ^ IV IV
Применим к тензору Xt формулу Стокса
CJ n • (v х Xi} do =J "t • xt ds, (1.33);
O ~ r
где t - единичный вектор касательной к контуру Г. Далее имеем
N • (V X X,) = N -(?' + ЩдZ) X Xj *= N (V + X,).
IV
Здесь Z - координата, отсчитываемая по нормали к поверхности. Таким
образом, хотя в исходной форме теоремы Стокса (6.19) главы I фигурирует
тензорное поле, заданное в трехмерной области, левая часть равенства
(1.33) не зависит от способа продолжения поля, определенного на
поверхности, в трехмерную область, примыкающую к поверхности.. Приходим,
к. формулу Стокса, применимой для тензорного поля, определенного только
на поверхности: .
JJn • (v' X X,) dO = j t -X, ds. (Il .34)
О ' ' ¦ Г ¦
В соответствии с требуемым в формуле Стокса направление* обхода контура
верно равенство
где М - единичная нормаль к контуру Г, лежащая в касатель-
ной к поверхности плоскости (M-N=0) и направленная в сторону, внешнюю по
отношению к поверхности.
Сославшись на (1.24) и тождество (MXN) • Xi=M • (NXXi),
/ч" /ч/
вместо (1.34) получим .-i .
?
V'¦ (N X Xt) dO - $ M• (N X x't) dS. (|1.36)
/V "T /4"
Далее на основании (1.15), (1.16) имеем
V,*(NX2) = (v,*N)X2 = -2H,X!!. (1.37)
/ч/ Л" л"
"
Из (1.31), ('1.36), (1.37) получаем искомую формулу, справедливую для
произвольного непрерывно дифференцируемого тензорного поля X:
' #ч/
Я(^'-Х + 2Н'N*X) dO - (f М-Х dS. (lt.38)
•V *4, J ¦ Г*
о г
Из (1.38) можно получить более общую формулу. Положим
1 ''' '' * 4 * - • *
X == GY и заметим, что V/*G=2H,N. Тогда будем иметь
*Ч< |%/ |
^(V,Y + 2H,NY)dO = (R MYdS. (1.39)
о г
: Из (1.39) следует формула, аналогичная второй формуле
(6.18) главы I:
jj (v' \Х + 2H'N X X)dO == ф МX XdSv. . tfl.40) - о ~ ~ г
\\}: ¦ V " -*•
Наконец, положив в (1.40) X=NY, придем к такой интегральной формуле:
л/ /ч/
Так как площадь элементарного параллелограмма, построенного на векторах
Pidq1, Padq2 равна | Pi XР21 dq4dq2= VG dq'dq2, элемент плрщади
поверхности выражается форыулой
dO = fG dq'dq2. (1.42)
§ 2. Деформация поверхности
Рассмотрим некоторую.'поверхность о, параметризированную гауссовыми
координатами q1, q2. Радиус-вектор точки этой поверхности обозначим р,
векторы основного и взаимного базисов -
на поверхности обозначим ра, рр, первый и второй фундамен- * тальные
тензоры соответственно.- g и Ь, коэффициенты перво# .
л" "
и второй квадратичной формы - gap, bap, единичный вектор-нормали - п.
Далее рассмотрим взаимно однозйачное гладкое отображение поверхности о в
другую поверхность О. Это отображение, •зависящее от времени t, как от
параметра, назовем движением поверхности, а положения поверхностей о и О
в пространстве назовем соответственно отсчетной и актуальной (текущей,,
деформированной) конфигурацией. Движение ставит в соответствие положению
точки поверхности в момент времени t0 ее по-
ложение в момент t, задаваемое радиусом-вектором Р(р, 1). Beg-тор
единичной нормали и фундаментальные тензоры поверхно-
сти О обозначим соответственно N, G, В: Считая координаты'
q1, q2 лагранжевыми, будем иметь
Р" =<?P/dqe,. В== -v'N, у' = P"d/dqn. (2.1)
*
Набла-оператор на поверхности о, то есть в отсчетной кон-
о
фигурации, обозначим V', после чего будем иметь
v' =p"d/dq", b = - v'n. (2.2)>
/V"
Движение P(p, t), определенное на поверхности, продолжим -в трехмерную
область, примыкающую к поверхности следующим образом [19]. Будем считать,
что любая точка с радиусом-век-
тором p+zn в отсчетной конфигурации, то есть расположенная
на нормали " поверхности О на некотором сколь tyro дно малом
расстоянии от нее, ' будет иметь в' момент t. радиус-вектор -> *¦ '
P(P" t)-f-zN (р, t). Такой подход позволяет для изучения-кинематики
поверхности применить теорию деформаций трехмерного континуума,
изложенную в главе II, и в то же время не вносит в деформацию самой
поверхности ничего лишнего. Соответствующий этому движению градиент
деформации в точках поверхности имеет вид-
С = (v' + п д/дг) (Р + zN) | *_0 = v'Р + nN." (2.3)
о/
Тензор второго ранга С, введенный соотношением (2.3), есть
#v
неособый трехмерный тензор. В то же время тензор-градиент V'P = р*Рв
является особым, так как
n-V/P = (v,P)*N=0. (2.4)
