Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
= Фк8тр(Т)(Н.ек)(Н es)l(emep)o (Н^еТ№-е^Zfq] =
Л/ /ч, ГК* /VI
= Фк8тр(Т)Н . (еке"> • Нт((етер) о (НТ • Z • Н)(. (II.67)
/V/ ГЧ/ *4# Л* л,
Учитывая, что Нт • Z ; Н = Т , из (1.66), (1.67) получим
Л" мм ж ^
нт • [Ф(г) о z] • н =Ф(Т) о (нт ' z • н)-f,T° т*
Л/ Л/ "V <У rs/ А/ IV /У а" А/
что и требовалось доказать. ' г
1Г
Если иметь в виду представление (1.61), то доказанная формула (1.65) для
дифференцирования по Яуманну сложной функции кажется интуитивно
очевидной. Однако следует помнить, что она справедлива только для
изотропных и гиротропных функций.
Для производных • Ривлина и Олдройда правило (1.65) несправедливо даже в
случае изотропных функций.
Частным случаем теоремы (1.65) является правило дяффе-.. ренцирования по
Яуманну произведения двух тензоров второго ранга, установленное в [38]
путем непосредственного применения представления (1.53)
(Т-'РЯ -Т-Р + Т-Р. • (1.468)
/ч/ ~ л# ~ ~ ~
Отметим еще, что производная по Яуманну от гиротропного или изотропного
тензора, материальная производная которого равна нулю, также равна нулю.
Для производных Ривлина к Олдройда это несправедливо. Например:
Е = 0, Е = 2е, Е = -2е. ' (1.69)
л/ • ' a;
Материальные векторные базисы Rs, Rk, как показывает (1.10), зависят от
времени. Рассмотрим два момента времени '4 и ;т и образуем тензор ¦
С. (х) ^ R8(t) Rs(x) = R8(t) 7; Rk(x) = C-*(t) • С(т). (.1.70)
(tm) 4 /v - <St
Сравнивая с (il.l3), видим, что тензор Ct(x) аналогичен rpa-
/V/
диенту деформации, только в качестве отсчетной здесь взята актуальная
конфигурация, а в качестве актуальной-конфигурация в момент времени т.
Этот тензор называется относительным градиентом деформации, он "замеряет"
деформацию окрестности частицы В момент времени т по отношению к
постоянно" 'меняющейся актуальной конфигурации. Формула (1.70)
устанавливает связь относительного градиента деформации с градиентами
деформации по отношению к фиксированной отсчетной конфигурации,
соответствующими моментам времени t и т. По аналогии с (tl .23), (1.25),
(1j26) вводятся относительные меры деформации и относительный тензор
поворота
Л,(т)= С.(т).С?(т), Ш = СгЧ*)-Сгт(?), 01.71)
м
и,(т)= [ОД]1/., А"(т) = ПОД • ОД:
/X/ л* "Ч* .Л"
Согласно (1.70), имеем г
Ct (t)-== A* (t) - Ut(t) = E.
Л, Л#' Л#
Если'ввести обозначение Ct(t)=-~Ct(T) t, то будут вер-
<v GT
ны соотношения
Ut(t) = "(t), A,(t) - S(t), C,(t) = L(t) (1.72)
л; ^ л/ л/ /ч/ м
Используя ; тензоры (1.70), .(1.71), можно записать такие
представления производный Ривлина, Олдройда и Яуманна
Р =~ 1ОД • Р(т) • СДт)1 | , (1.73)
м ОТ ^ ^ ~
Р " ~-1СОД ' Р W- с71(х) 11 Х-Н
^ ОТ м ГЯ .
р = JL [ А*(х) . Р(т) . АТ(т)] |"t -
м UT /\j
=V-h • р<х> • crl^)l I +
л. QT #V fW /4#
+4-4- icrM • рм • I "•
Л ОТ гя "V
Пусть f(Ut) - изотропная функция, значения которой есть
/X/ •
симметричные тензоры второго ранга, a f (Е) = Е. 'Выражение .
/X/ л/
-?• {f [U, (Т)] . А,(т) • Р(т) • AJ(T) • f [ОД]] I t",
QT tst tsj гы ГЯ fbj
дает представление индифферентной производной вида (1.55).
§ 2. Уравнения движения и определяющие соотношения
Выделим мысленно в актуальной конфигурации материального тела .
произвольную его часть, ограниченную поверхностью О.. На выделенную часть
со стороны остальных частей тела действуют распределенные по поверхности
О. силы, интен-
I*
сивность которых на единицу площади обозначим F. В курсах
механики сплошной среды доказывается тёорёма КошН: суще-
*+
ствует тензор второго ранга Т, такой, что F=N-T, где N - век-
тор единичной внешней нормали к 'поверхности О* в рассматриваемой точке.
Тензор Т называется тензором напряжений Коши,
или просто тензором напряжений.
Кроме поверхностных сил, на часть тела, ограниченную по- _ верхностью О.,
могут действовать внешние силы, распределен- ' ные по объему.
Интенсивность этих сил на единицу массы тела
обозначим К, так что на единицу объема тела в текущей конфи-
гурации действует сила рК. Вектор К называется массовой силой.
Применим к произвольной части тела теоремы об изменении количества
движения и момента количества движения:
JJJР(К- v) X (R-4) dV + JJN-T X (R-R0) dO = 0.
Последние уравнения можно интерпретировать как условия равенства нулю
главного вектора и главного момента всех внешних сил, Приложенных к
произвольной части тела, -причем в число внешних сил включаются и силы
инерции.
Иг произвольности объема V. и формулы Остроградского - Гаусса (6.18)
главы I вытекает, что в каждой точке тела должны выполняться уравнения
О"
Vr-T-f pK = pv, (2.3)
T-TL (2.4)
\
Уравнения (2.3) называются уравнениями движения. В случае, если
рассматривается состояние покоя,-они называются уравнениями равновесия.
Кроме тензора напряжений Коши, в механике сплошной среды применяются
другие тензоры напряжений. Одним из них является тензор напряжений Пиола
D, определяемой соотноше-
нием
D = JC-т.т = (CL)T-T. (2.5)
м "V Л/ /V
Механический смысл тензора напряжений Пиола состоит в
том, что с его помощью поверхностная сила, действующая на
