Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
Легко проверить справедливость формул
с-1 = v7р + Nп, v'p = P"Pa, v'p = g. v'P = G;
IV " IV л"
(v' h ¦ (V' Р) = g, (Y 3 ' (Y P) = G- (2.5)
M IV
Поскольку вектор нормали N определяется заданием векторного поля P(q',
q(r), t), его можно выразить через тензор V'P. Согласно (1.5), имеем
П = Pi X 3lV~g - v~g Р1 Хр2, g = g" g22 - g?2; (2.6)
N = P, XP2//G, G = G"G22-G?2.
*"¦>
С помощью (2.6) составим выражение диады nN:
1ГЩ- п N = (? X Р2) (Pi X Р2)= Т (? X7) (Р- X Й). (2.7)
Для любых векторов а, Ъ, х, у справедливо непосредственно проверяемое
тождество
а Xb х X У = (а*х by-a*y b-x)E -a-x yb +
/V
' ¦" -"-*¦•* •* ¦*-* -" ^
-{-b-xya-f a*yxb- b-yxa.
В применении к (2.7) это теждество дает
/ G/g nN = 7(p"-Р.рР• Рр - р"• Рр ?-Ра) Е +
+?-р.рР?-?-р.рРЯ Далее заметим, что
P'P' = (V'P)T, ?-Pp = tr(f Р)Т,
рР-'Р0РрР"=РрРР-РаР"= l(VAP)Tl2. - ¦
Окончательнр получаем
п N = [(V' Р)т]г - (V Р)т tr (V7 Р)т + .
+ т? ftr"(^P)T-tr [(^Р)ТИ = [(v'P)T]L- (2.8)
Здесь использовано определение присоединенного тензора: (3.14) главы I.
Заметив, что, согласно (1.412),
dO=j/"ydo, (2.9)
из'(2.8) окончательно находим
NdO = (v'P^-ndo. (2.10)r
Полученная формула очень похожа на формулу (1.38) гла
о **
вы II. Однако в последней фигурирует неособый тензор C=VR
/X/
¦ т
О
(V - трехмерный набла-оператор). В формуле же (2.10) уча
ствует не имеющий обратного тензор V'P. Формула (1.38)! главы II
предполагает знание движения трехмерной окрестности рассматриваемой
материальной точки, например, шара • произвольно малого радиуса. При
использовании формулы (2.10) требуется знание движения лишь двумерной
окрестности данной частицы, например, круга произвольно малого радиуса.
л._
Пусть имеется некоторая кривая у, -лежащая на поверхности о, a m - вектор
единичной нормали к этой кривой, лежащий в касательной к поверхности
плоскости. Единичный вектор ка-
сательной к кривой у обозначим т. Предполагается, что вэаим-
-" -*• -v •
на" ориентация векторов т, т, п такова, что выполняется соотношение,
аналогичное (1.35). После деформации поверхности кривая у перейдет в
кривую Г, лежащую на поверхности О и
имеющую вектор нормали М = t X N. С помощью соотношений
(2.3), (2.5) и (1.38) главы II получается формула преобразования
М dS = у" Q/g С-1 • m ds - У G/g (v'p)-m ds. (2.11).
: • "***- '
Здесь dS и ds - элементы дуги кривых у и Г. Формула, свя-зывающая векторы
t и т, выводится так:
I
. .. 1 = dP/dS = e-'<?P/ds = е-Ч.у' Р, е = dS/ds. (2.12)
Рассматриваемые векторы представим в виде следующих разложений:
М - М" Рв, rii = т" р", t = t" Р0, х = 'С1 р^. (2.13)
Из (2.11)-(Й.13) получим
... М". == е-* ]/" G/g ш,,, t' = в-1 f',
е = У f тР G"p = У (G/g) т. тр G*3. (2.14)
Рассматривая изменение длины материального волокна поверхности при
деформации, приходим к мере деформации Коши- Грина на поверхности:
dS* = dP.dP=dp-Gx-dp, Gx = (v,P)-(v/P)T =
= C-CT-nn. (2.15)
/V rs/
Меняя местами отсчетную и деформированную конфигурации, получим меру
деформации Альманзи на поверхности:
"
= (v'p) • (v'p)T. (2Л6)
Наряду с этими тензорами можно использовать им обратные G1-1, g*-*.
Введенные тензоры имеют следующие представления:
IW м _ ,
Gx =G.ppV, G*-1 =G~,
/ч/ - #v "v
gx= g"pP"Pp, g*-, = g4"P. Pp^er- ' (21.17)
~ t*
Из (2.17) следует, что тензоры Gx, GA принадлежат поверх- ' ности о, в то
время как тензоры g* и g* принадлежат дефор-:
"V г**
мированиой поверхности О. Отметим, что
detG* = det gx = Q/g. (2.18)
м e л"
Как и в трехмерной теории деформации, вводятся тензоры деформации Коши И7
и Альманзи и7 на поверхности:
И7== ~ (G* -g), h/ = 4<Q-'^* <2319)
* • H7 - И^> ?. и7 = ИоРР"Р?, и"р = 4- (G"p - g.P).
* tS! /V *
V
Введя в рассмотрение вектор перемещения точек поверхности и ==¦ Р - р,
получим из (2.15), (2.16), (2Л9)
2И' = W u)-g + g-(v' u)T + (v'")*(v' u)T,
rv о/ /v
2И7 = (v7u)-G -f G-(v'u)T - (v'u)-(v'u)*. (2.20)
/V/ <V IV •
Вектор перемещения представим следующими разложениями:
u = Uo + un=*=u7-f uN, u; = u"p" u7 = u" P0, (2.21) и введем обозначения
f - (V7 uo) •? " b u = (Vo up - b? u) p" pp, (2.22)
л/ rs/
f = (v'uO-G -Bu==(v.uP -BPu)P"Pp,
, es/ es/ rs/ . '
-> OO -*¦ OO. О -*¦ . -a
9o = v'u + b-u = (v"u -f bPup)p" - 9"pe,
rsj
9 = v' u -KB-u fc= (v" u + B? Up) P" - <p" Pa.
rs/
Теперь по формуле (1.27) получим такие представления тензоров деформации
Коши и Альманзи на поверхности:
2И' = {-ffT + f-fT + 9o 9о, (2.23)
rs/ rs/ rs/ rs/ rs/
2и' = f-Ит -f-F -9 9-
rsz rs/
"J CO
Тензор - (f + fT) называется линейным тензором деформа-
2 Л1 IV
ций поверхности. Если перемещения и их производные по координатам
настолько малы, что можно пренебречь их произведениями по сравнению с
линейными членами, то получим
И'" и'" 4*$ + F). {2-24)
rs/ 2
rs/ rs/
Градиент вектора перемещений можно представить следую-щим'образом:
О О
V'u = f+ 90n-+ ft)_?x "К
rs/ 2
о О
9оХп + фп - е°Р9рр" + фп, (2.25)
,-оо , о о о J -* о -*¦
Ф= - eOf = T eapv"up = - n-(v'Xu0),
2 rs/ rs/ 2 2
О I " о 0 "> 0
