Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 21

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 43 >> Следующая

скоростей имеет вид
v - v0 + "о X (Р - Р0), v0 = Р0. (3.9)
Применительно к (3.9) из (3.7) имеем
V'v = - ОХ"о. L = - Е X "о.
л* ~ /м
-*> -*• откуда е=0; о)=<о0.
Из (12.15) следует формула, аналогичная (1.43) главы II:
2е= С-^бх-С-т. (ЗЛО)
#v ***
Как и в случае трехмерной сплошной среды, два движения
Р*(р, t) и Р(р, t) некоторого участка поверхности называются
эквивалентными, если они связаны соотношением
Р* (р, t) - ?(t) + [Р(Р, t) - г] -Q(t), (3.11)
где Q(t)-произвольный ортогональный тензор, г - фиксиро-
"Ч> -
ванная точка пространства.
Тензоры-градиенты Ф'Р и (V'P)* в двух эквивалентных движениях связаны
соотношением
(v'P)*= (v'P)-Q- (3.12)
"ч/
Из формулы (2.10) вытекает индифферентность вектора нормали к поверхности
О
N* = N-Q. (3.13)
Из (2.3), (3.12), (3.13) следует
С* = C-Q. (3.14)
л* ГЧ)
П
Первый й второй фундаментальные тензоры актуальной поверхности О
индифферентны. В самом деле, из (3.13), (3.14) получаем .
G*= (Е - N N)*= Е QT-NN-0 = 0T-G-0, (3.15)
AI М/ М/ IV - /V/ /и /V IV
В - - С-1 • v'N, b* = -Qt-c-1-v'N'Q = Qt-b-Q. . '
~ Л/ IV УЧУ IV <v м* iv ^
Меры деформации Gx, GA, Вх, ВЛ при переходе к эквива-
/ЧУ гч/ /ч/ гч/
лентному движению преобразуются следующим образом:
(GX)* = GX, (Вх)*= Вх, (G~)*=G~, (В~)*= В-, (3.16)
и поэтому данные тензоры неиндифферентны.
В противоположность им тензоры gx, gA, bx, ЬА индифферентны, т. е.
(gx)*=QT-gx-Q, (bx)*= QT-bx-Q. (3.17)
/41 о/
Из (3.10), (3.16) следует индифферентность тензора скоростей деформаций
поверхности.
При построении тензоров, характеризующих скорость изменения кривизны
деформирующейся поверхности, следует иметь -
в виду, что тензор В не может служить такой характеристикой/
/41
так как он неиндифферентен. Следствием неиндифферентности является тот
факт, что тензор В отличен от нуля при движени-
/V
ях поверхности как абсолютно твердого тела. Поэтому следует применить
описанные в § 1 главы II операции дифференциро? вания тензоров по
времени, приводящие к индифферентным тензорам, jb частности, производные
Яумаина, Ривлина и Олдройда:
В = В+ВХ "-"X В = 4-В"(Р"РР + РРРа), (3.18)
~ *4" /V ~ Л
B = B + B*LT + L*B = ВорРвРР, (ЗЛ9)
/V Л/ *4/ /4/ /4/ ,4,
В= В - LT-B- B-L = В"РРвРр. (3.20)
"4/ <4/ /41 fs, ^ /4/
С помощью (3.5)-(3.8) получим представления этих тензоров через вектор
скорости поверхности:
П . . ¦
В = (^")-0-е.В + 4-В*[(^У')т-(^У').0], (3.21)
w /v ^ л/ л л; ^
В = С-'-В>"-С-т-=(^")*0 +B-(v'v)T =
^ а" л" "v л/ л/
= (V'")-G + B-(v'v' )т - В2 w, (3,22)
л/ л/
B = (v'&) G -2е- В- B-(v'v')-G + BJ w. (3.23)
/ Л* Л, ~ /V (V л" л/
Тензоры >(3.21)-(3.23) индифферентны, симметричны и принадлежат
поверхности О. Нетрудно проверить с помощью (3.9), что при жестком
движении .поверхности все они обращаются в нуль и поэтому действительно
характеризуют скорость изменения кривизны поверхности. Если движение
поверхности представляет собой изгибание, то е=0 и все эти три тензора
совпадают. Таким образом, понятие тензора, определяющего скорость
изменения кривизны поверхности, можно ввести не единственным образом.
Более того, из вышеизложенного ясно, что в качестве такого тензора по
аналогии с (1.55) главы I можно взять ?
тензор вида B-f-(Soe)o В, тде St-любой постоянный изо-
/VI fv Л/ (V
тропный тензор шестого ранга. Примером может служить тензор
*х = В + 4 (е-Б + В*е) = -f [(^ш)-е - е-(v'")т1 =
л" л/ / л; -v /v л, / <v
= i-Kv'^-G + G-^H + -±-">(е.В -В-е). (3.24)
/ IV А/ Z Л1 IV А/ /V
Этот тензор, характеризующий скорость изменения кривизны поверхности в
данной частице, интересен тем, что выражается -через градиент вектора
угловой скорости в этой частице.
На первый взгляд может показаться, что симметричный и
принадлежащий поверхности тензор -[(V'O) ¦ G + G • (V'0)T],
2 г* rv
выражающийся, согласно (3.6), через* градиент скорости вектора иормали,
также может служить тензорной мерой скорости изменения кривизны.
Однако легко показать, что он неиНдифферентен и не обращается в нуль при
жестких движениях поверхности.
Применительно к первому фундаментальному тензору поверхности О имеем
п
8-0, 0 = 2* - OpP-PP, Q = - 2*. (3.25)
*v л/ M IV
Сравнивая выражения (3.22), (3.10), а также (3.212) и (3.25), видим, что
среди всех описанных выше тензоров, характеризующих скорости изменения
кривизны поверхности, производная" Ривлина (3.19) выделяется тем, что
является наиболее близким аналогом тензора скоростей деформаций. По этой
причине тензор (3.19) будем называть тензором скоростей искривлений и
введем для него специальное обозначение:
В = *. (3.26)
(V IV
Согласно (3.18) - (3.20), (3.24), имеем
? А 1
% = В -|- е • В -|" В • б - В +"2 б • В "f" 2В • б = (б • В В •
б).
~ ~ ~~ ~~ ~~ ~(з727)
Отметим также соотношение ,-
N = N = N =0. (3.28).
Скорости изменения главных кривизн поверхности можно1 вычислить,
дифференцируя спектральное разложение тензора--> -*¦ -*> -*">
B=Kieiei+ К2е2е2. Учитывая, что ei-ej-е2-е2-0, получим
. . -*¦ ¦+ О -*• ¦ *+ . -¦ *" р ¦"
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed