Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
Kj =е,*В*е1==е1*В*е1; К2 - е2 ¦ В-е2 = е2-В-е2. (3.29).
~ л/ /V -
Вторые равенства в (3.29) непосредственно проверяются с помощью (3.18).
Для скоростей средней и гауссовой кривизн верны формулы
Н'= -^-0°В, К -(2H'Q -В)оВ. (3.30 f
ГЧ/ А Л1 "V ^ Л/ "V
Дифференцируя по. времени полярное разложение градиента деформации (2.41)
с учетом (3.2), (3.8), получим такие соот-; ношения:
AT-A-S + ^-AMU'-^ir-U'-U'-O.A,. Й=ЕХ", (3.31)
IV >v ~ 2 IV А" /ч/ ~ л/ Л" IV А* -
А-Ат = A-Q-A* +'-5-(U'-'-U' - U' "и'-1)- (3.32)-
ГЧ IV IV IV IV л IV /V #4 "V
W
Из (2.56) можно найти
iT-*- "5Г[5+т <*•-••>]• ,333)
^iT-:4s-fex?-f'<J?-'*e'>']- ,з-з4)
Из (3.31)-(3.34) следуют формулы, связывающие тензор угловой скорости Q
со скоростью изменения вектора конечного
поворота:
• * •
~ 4"г0 L а* 2 J м /V л; а" /х/
(3.35)
[ех6- - (0 б-б 0)1 = А-2-Ат+ - (U'-'-LT - U'-U'-1).
4-4,0* 2 'J #х/ #4# /V 2 IV /X/ /X/ /X/
(3.36)
Последнее соотношение можно разрешить относительно производной вектора
поворота. Результат имеет вид
б = ?--^5x6+4-б б-р, (3.37)
Г--4-До (А.-2• Ат + U'-1 ¦ U').
? /X/ /X/ /X/ /X/ rv
Как и в кинематике трехмерного континуума (глава Н)гможно ввести
относительный градиент деформации поверхности; относительные меры
деформации и относительный тензор поворота. Аналогично (1.70) главы II
имеем
Ct (х) = Pe(t)P"(x) -f-N(t) N(x). . (3.38)
/V
Согласно (2.15), (2.31), (2.65) можно-записать
Gtx(x) = С*(х) • СТ(х) - N(t) N(x)T (3.39)
~ B><(x)lct(x).B(t).C?-(x),
*W = 4 IBtx(x)-u;-"(t)+u;-'w-b?(x)] -B(t).
/X/ " IV IV /X/ *х/ /X/
Имеют место формулы типа (1.72) главы II:
Qx (t) = 2e(t), B*(t) = *(t), K*(t) = *x(t), e7(t) = 7(t). (3.40)
/X" /W IV /XI ^
"
Гяава IV
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
ОБОЛОЧЕК
§ 1. Выражение геометрических характеристик оболочки через геометрические
характеристики срединной поверхности
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя поверхностями,
расположенными по разные стороны от некоторой поверхности о, называемой
срединной, на одинаковом расстоянии h/2 от нее и линейчатой поверхности
а, образованной движением нормали к срединной поверхности по граничному
контуру. Положение точки оболочки в отсчетной конфигурации задается
радиусом-вектором:
r = p + zn, - h/2^ Zs^h/2. (1.1)
Здесь р - радиус-вектор точки срединной поверхности, z - расстояние от
срединной поверхности. Толщина h может быть переменной: h=h (q1, q2).
Для вычисления геометрических характеристик оболочки удобно
воспользоваться следующим приемом. Можно предста- • вить себе, что
оболочка получена из плоской пластины переменной толщины путем деформации
специального вида, когда срединная плоскость плиты отображается в
срединную поверхность _ оболочки, а материальные волокна, нормальные к
плоскости, плиты, не изменяют своей длины и переходят в волокна,
перпендикулярные срединной поверхности.' При такой деформации боковая
цилиндрическая поверхность плиты переходит в поверхность а.
Пользуясь тем, что геометрические характеристики пластинки постоянны по
толщине, и применяя приведенные в § 1 главы II формулы преобразования
ориентированной элементарной' площадки, элемента объема и набла-оператора
при конечной деформации, можно вывести следующие соотношения ['21]:
гп, do = а( g - zb)-1 • ш ds dz, (1.2)
"
dv = a do dz, a = det (g - z b),
(1,3)
О О
V 9(Q*. qJ, Z) = (g - z b)-' • v' <p + n d<fldz. (1.4)
Здесь ma - единичная нормаль иа поверхности a, m-единичная нормаль к
граничному контуру срединной поверхности о
(ш • n=0), ds - элемент длины этого контура,'q1, ср-гауссовы координаты
срединной поверхности, do - элемент площади срединной поверхности, dv -
элемент объема оболочки, q> - произвольная функция координат (не
обязательно скалярнозначная),
о
V - трехмерный набла-оператор в отсчетной конфигурации обо-
Аналогичным способом можно получить выражение направ-
->- т
ленного элемента площади (ndo)± поверхностей z=±h/2 в случае оболочки
переменной толщины:
Формулы (1.2)-(1.9), выражающие геометрические характеристики трехмерного
тела-оболочки через геометрические характеристики срединной поверхности,
справедливы для достаточно тонкой оболочки, а именно такой, для которой
det(g ± h/2 b) #=0.
лочки.
Из (1.2) легко находим
(n do)± = а(± h/2) Г + п+ 4** b/2b)-^Vhl do- 0-7)
JZ is* (v
Из (1.7) следуют формулы
(do±)=<
координат q1, q2, z становится непригодной для однозначного задания
положений чючек оболочки.
Формулы, аналогичные (1.2) - (1.9), имеют место также для деформированной
(актуальной) конфигурации оболочки. Онн получайте"! из формул,
приведенных выше, заменой строчных букв на прописные.
§ 2. Уравнения равновесия оболочки в усилиях и моментах
Пусть в актуальной конфигурации оболочка, имеющая срединную поверхности О
и толщину Н, находится под действием
-> -*>
внешних поверхностных сцл F+ н F-, распределенных соответственно по
поверхностям Z = -j-H/2 и Z = -Н/2, и массовых
сил К, распределенных по объему оболочки. Прн этом будем считать, что в
