Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
т
. С другой стороны, дифференцируя равенство Pe-N=0, получим *
N.(dPe/dq?) = N(asP/aq"dqP) = - P".(dN/<?q?) = В"р = Вр".
(19)
Числа Вар называются коэффициентами второй квадратичной
формы поверхности, а. тензор второго ранга
* \
в = В"р Р" рр = В"Р Р" Рр = В"Р"РР, (1.10).
/X/
ВчР = G"if GP* B7s, Bp = 0*т Втр
называется вторым фундаментальным тензором поверхности. Он Характеризует
кривизну поверхности в данной точке.
Тензоры G и В симметричны и принадлежат поверхности.
Л/ /Ч"
Если тензор второго ранга X принадлежит поверхности, то
/X/ "
детерминант (третий инвариант) X, рассматриваемого как трех-
л/
мерный тензор, равен нулю. Поэтому детерминантом тензора, принадлежащего
поверхности, будем называть его второй инвариант. Эта терминология
Оправдывается тем, что последний равен определителю матрицы смешанных
компонент тензора X в
IV
векторном базисе на поверхности:
X = Х" Р. Ре = Х-РР Pe, det X = | Х;" | = I .1 =
= i-(traX - trX2), trX=E о X = G о X. .0-11)
* Г" М А/ "V "V д,
Под тензором X-1, обратным к тензору второго ранга X, при-
"V IV
надлежащему поверхности, будем понимать тензор второго ранга, также
принадлежащий поверхности й удовлетворяющий соотношению X_1-X=X-X-1=G.
Матрицы, смешанных компонент
rv 'VI *
тензоров X и X-1 взаимно обратиы.
л/ а/ 1 ,
Формула Гамильтона - Кэли для двумерных, то есть принадлежащих
поверхности,- тензоров второго ранга приобретает вид .... с.
X1- XtrX + GdetX=0. (1.12)
~ ry
Дифференциальный оператор*
v' = P<tf/<?ci" (ТЛЗ)
называется набла-оператором на поверхности, а тензор V'X на-
гч/
зывается градиентом тензорного поля X, заданного на поверх-
л/
иости: Здесь X - тензор произвольного ранга в трехмерном
fV
евклидовом пространстве. С помощью набла-оператора записывается линейная
часть приращения тензорного поля X при сме-
if ~
щении из одной точки поверхности в соседнюю;
dX ==. dP-y'X. 01.14)
гч/
На основании (1.9), (1.13) второму фундаментальному тензору поверхности
можно дать следующее бескоординатное определение [19]:
В = -У N. 01.15)
*
Как и любой симметричный тензор, тензор. В имеет веще-
fV
ственные собственные значения Кь Кг, называемые главными кривизнами
поверхности в данной точке. Спектральное разложение тензора В
записывается в виде
/V .
В = Ki et е, + К2е2е2,
гч/
где еь е2 - единичные ортогональные векторы, принадлежащие
поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым в
">
каждой точке направлены по главным осям еа тензора В в этой
точке, называются линиями кривизны. Первым и вторым инвариантами тензора
В будут соответственно удвоенная средняя
/•V *
кривизна 2Н' и 'гауссова кривизна К поверхности:
* Н'= - tr В = - (К, -f К2), K = detB=K,K2. (1Л6)
2 ' 2
Принадлежащий поверхности антисимметричный тензор вто-рого ранга е,
определяемый соотношением [17, 21, 27]
е = -G XN = -NXG= N-Д =fl-N, (1.17)
/V **"/ iv iw л"
называется дискриминантным тензором поверхности. Здесь Д - тензор Леви-
Чивита (см."§ Здравы I). Из (1.17) получим
е == е*е Р, Рр - е"р Р(r) Р*, (l.'l 8)
Л/
еп=е11=е22=е22-0, eia=-eji=VG, eI2=-eii=\I'\/G.
Имеют место тождества
e"Pe"T = 8j*e - 8"8g, е2 = -G. (1.19)
' ' /V /V f
Тензор Леви-Чнвита выражается через дискриминантный тензор поверхности
следующим образом:
Д = eN + Ne -o,.2(Ne). (1.20)
Л/ IV IV ^
Ч -#•
Учитывая, что тензор Леви-Чивита постоянный, а тензор V*N симметричен, из
предпоследнего равенства в (1.17) получаем ~ тождество
у'-е = v'-(N-Д) = - (y'N) о д = 0. (1.21)
IX/ 141 IV
Для любого дважды дифференцируемого тензорного поля X,
• " л"
определенного на поверхности, справедливы тождества, аналогичные
соотношениям (6.16) главы I:
V' X (V' X) = - N X В V X, (1.22) .
IV IX/ "V
V • (v' х X) = Р".В.(N х дх/дq(r)). (1.23)
IV Л1 IV
Используя непосредственно проверяемое тождество
N-(v' X Y) = - V • (N X Y) = v'• (e- Y) (1.24)
" ^ <v
->
и умножив (1.22) слева на вектор N, придем к важному тождеству:
V-(e-v'X) =0. (1.25)
Я •
При вычислении градиента тензорного поля на поверхности наряду с
формулами дифференцирования вектора нормали (1.8) нужны выражения
производных векторов базиса по координатам. Они имеют вид
dPa/dq^= ГтрРт + B"pN, ffP'/dq? = -Гр"тPt + B"N. (1.26)
Символы Кристоффеля Г*р на поверхности выражаются через коэффициенты
первой квадратичной формы-формулами, повторяющими '(6.8) главы I, с той
разницей, что индексы пробегают значения (1.2). ,
-*- "" "
Рассмотрим векторное поле a(q', q2). Разложим вектор а на составляющую по
нормали к поверхности и составляющую, принадлежащую поверхности:
a - a' + aN, a' = a-G = a"Pa = a<.Pa; a = a-N.
/X/
Для градиента векторного поля согласно (1.8), (1.26) получим
v'a = (v V) -G - В a -f- (v' a -f- В-а') N. (1-27)
^ /X" гч/
. -^
Принадлежащий поверхности тензор (V'a') -G имеет следу-
/V
ющее представление:
(v,a')'G = v<.e|5I>',I>p= v"eppep\ (1.28)-
где Ve - символ ковариантной производной на поверхности:
= daP/dq'+ Г*тдт, y"ap = dap/<?qa-rjpav (1,29)
w r e
