Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
функцию частиц <j>(Z, t). Так как_С_1= Rsrs, то из (1.16), (1.12)
получаем
у = Rs<?/dqs. (1.17)
Поэтому V можно называть также набла-оператором в актуальной конфигурации
тела.
Отметим очевидные соотношения
у г = yR = Е, yr = C_1. (1Л8)
~ 'em
: Частная производная по времени от функции <p(Z, t) называется
материальной, или индивидуальной, производной
<Р == (d/dt) <p(Z, t). (1-19)
A#
При лагранжевом способе описания (1.7) вычисление материальной
производной сводится также к частному дифференцированию:
f = (<?/<*) ffr,t). (1.20)
: При использовании эйлерова способа описания (1.8) следует иметь в виду,
что от времени зависит также и радиус-вектор частицы, а следовательно, и
ее пространственные координаты QM:
F'(QM , t) = <?F' (QM, t)/dt + (<?F'/<?QN) QN. (:1.21)
.По определению вектора скорости частицы имеем
v = R = (<?R/dQM) = Q"RM.
Следовательно, производные QM представляют собой контр-авариантные
компоненты вектора скорости в пространственном векторном базисе. Согласно
(1.21), (1.15), можно записать
Р = dF'(QM, t)[dt + vK RK-RN (dF'/dQ") -.
=<?F'(QM,t)/<?t + v-yFC (L22)
Первое слагаемое в правой части (1.22) представляет собой
производную па времени, вычисляемую для фиксированной "гоч-ки
пространства, и называется локальной производной. Формула (1J22)
устанавливает связь материальной и локальной производных по времени для
любой тензорнозначной функции.
Легко видеть, что операция вычисления материальной про-
О -
изводной перестановочна с набла-оператором V в отсчетной конфигурации, а
операция локального дифференцирования по времени d/dt перестановочна с
пространственным набла-оператором V.
Применим к градиенту деформации С' теорему о полярном разложении (3,16)
главы I:
C = U-A = *A-V, U = (С-Ст)1/2, V = (Ст-С)!'2. (1.23)
/ч/ /ч/ /V /V /V /V /ч/ /чу /ЧУ /ЧУ
Здесь U, V - симметричные положительно определенные тен-
/V/ /V
зоры, А - ортогональный тензор, причем detA=l, так как
detC>0.
Пусть сплошная среда движется как абсолютно твердое тело R(7,t)-
a(t)+^Q<t)' С = Q. (11.24)
/ЧУ /Ч/ ./Ч/
В этом случае из единственности полярного разложения получаем U=V=E, A=Q.
Таким образом, тензоры U и V харак-
/ч/ /ЧУ /Ч/ /ЧУ УЧУ /ЧУ /ЧУ
теризуют чистую деформацию среды, т. е. . изменение длин материальных
волокон. Они называются соответственно левым н правым тензорами
деформаций. Тензор А называется тензором по
ворота.
Представление (1.23) разлагает деформацию окрестности данной частицы на
две составляющие: чистую деформацию и жесткий поворот.
Неудобство тензоров U и V состоит в том, что затруднитель
/чу /ЧУ
но получить явные выражения их компонент через компоненты градиента
деформации. Более удобными с этой точки зрения являются симметричные
тензоры А и Я, называемые соответ-
/Ч/ /ЧУ
ственно мерой деформации Кошн - Грина (илн первой мерой деформации) и
мерой деформации Альманзн (или второй мерой деформации):
2>
А =*= U1 = С*СТ, X = V-2 = С-,*С~Т, (1.25) '
^ ^ /V А/ Л/ а/ а/ /V А/ rs/
Часто используются также обратные тензоры
А-1 = С~т - С-1, Х-> = Ст• С, (1.26)
/Ч/ А/ AI А/ rs/ /X/
причем тензор X-1 именуется мерой деформации Фингера. Из:
А/
(1.13) следуют представления описанных адер деформации в различных
базисах:
Л = GskTs> == (dQM /дqs) (<?QN/dqk) GM" ?7\
Л-1 = G5*1 r77k = (<?qs/<?QM) (dqkMQN) Gmn7s 7k, (1.27)
* = gsk Rs Rk = (*f/dQM.) (dqk/dQ") gskRM RN,
^ = gsk RsRk = (<?QM /aqk) (W) gsk Rm Rn,
/V
gsk = rs-rk, gsk = rs.rk, Gsk = Rs*Rk,
G'k = Rs-Rk, G"n=Rm-Rn, Gmn = RM • RN.
Для сравнения с (1.27) приведем различные представления единичного
тензора:
Е = gsk ?7k = gsk7s7k = Gsk Rs Rk = GskRs Rk =
= GmnR"Rn = GmnRmRn. (il .28)
Рассмотрим изменение длины элементарного материального волокна при
деформации
dSa - ds2 = dR-dR - d Г-d 2d Г-И -d г7 И = -1- (Л -Е).
' ' А/ rs/ 2 AI /\/
(4.29)
Введенный здесь тензор И называется тензором деформации Коши - Грина.
Вместо (1.29) можно записать
"
dS2 - ds2 = dR • dR - (dR• C-') • (C~T-dR> = 2dR • И • dR,
~ /Ч/ /V
H = -L(E-X). (1.30)
/V ' ^ /V r*J
Тензор И называется тензором деформации Альманзн. Пр! жестких движениях
тела тензоры И, и обращаются в нуль. Н* основании (1.27), (1.28) имеем
2И - (Gsk - gsk)"rs"rk, 2H = (Gsk-gsk)RsRk: (1.31)
/V
Видим, что . ковариантные . компоненты тензора деформаци* Коши в
лагранжевом базисе отсчетной конфигурации совпадаю-с ковариантными
компонентами тензора деформации Альманз! в лагранжевом базисе
деформированной конфигурации.
Введя в рассмотрение вектор перемещения частицы u=R - i получим на
основании (1.29), (1.30) представления тензоров де формации через
градиент перемещения:
j о -"¦ О -*¦ О -*¦ о г
и =?" yIvu + (vu)T + vu-(vu)tJ,
И = -J tvu + (vu)T - vu • (vu)T]. (1.321
Рассмотрим произвольный объем, выделенный в деформиро ванной конфигурации
материального тела: '
V" = JJJdv= JJJdx3. ' (1.33*
v* V*
Так как Х1=Х1(хк, t), то, сделав в интеграле замену пере менных, получим
V" = JJJ | dXJdXk | dxi dx2 dx3 = JJJ Jdv, (;1.34'
