Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
второго ранга.
Свойства гиперупругого материала полностью определяются заданием удельной
потенциальной энергии деформации как функции компонент тензора Л, или,
"i-го ЗквйваленТйо, как; функ-
* rs/ ¦ • - f IT ^ .
ции тензора деформаций Коши4- Трвда И. Вид,,зависимости W от тензора Л
определяется не только Двойствами матерйа'ла, но
rv л t
и выбором отсчетной конфигурации, т. е. положения тела, от которого
отсчитывается градиент деформации. Для одного и того же материала функции
W (Л) будут, вообще говоря, различными
' Л" * - • •• 1 • • '¦
при использовании различных отсчетных конфигураций.
44
Для неоднородных гиперупругих тел зависимость W(A) бу-
дет различной для разных частиц, т. е. упругий потенциал W будет явно
зависеть от материальных координат.
Определяющие соотношения любого материала должны удовлетворять условию,
чтобы задаваемый ими тензор напряжений Коши Т был индифферентным (принцип
материальной индиффе-
/X/
рентиости [47]). Из (1.46) следует, 4V0 упругий потенциал W(A), как и
мощность напряжений я - индифферентные скаля-
<v
ры. Индифферентность тензора напряжений, определяемого соотношением
(2.16) или (2,18), также легко проверяется с помощью формулы (1.46).
Определяющее соотношение материала с памятью, удовлетворяющее принципу
материальной индифферентности" имеет' следующее общее представление:
T(t) = CT(t) - Ф [A(t - s)] - G(t), s > 0, (2.19)
Здесь A(t - s)-предыстория меры деформации Коши, Ф -
тензорнозначный оператор, определяемый на некотором множестве
предысторий.
Гиперупругий материал называется изотропным, если существует такая
отсчетная конфигурация, относительно которой удельная потенциальная
энергия деформации W является изотропной функцией меры деформации Коши -
Грина Л. Эта от-
г*
счетная конфигурация называется неискаженным состоянием.
Так как скалярнозначная функция симметричного тензора есть функция его
главных инвариантов, то в изотропном гипер-упругом теле упругий потенциал
есть функция главных инвариантов тензора А, или, что эквивалентно,
функцией главных ин-
вариантов тензора деформаций Коши И. Поскольку главные ин-
* , v • * • -*v . ,, '
варианты тензоров Л и Я-1 совпадают, W можно считать также
л/ ' ' f •* **
функцией инвариантов меры деформации Фингера или Альманзи, т. е.
изотропной функцией'тензора Я, или и.
* л. ¦ ^ о*
Из формулы (2.16) следует, что в изотропном гиперупругом теле тензоры Pi
и Рц есть изотропные функции меры деформа-
ции Кощи-Грина Л, а тензор напряжений Т- изотропная функ-
"X/ _¦ Г*
ция меры деформации фингера Я-1.
Глава III _"
-/
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
$ 1. Формулы теории поверхностей
Поверхность в трехмерном пространстве задается уравнением в
параметрической форме:
л-
P = P(q',q2), (1.1)
гре Р - радйус-вектор точки поверхности, а параметры q1, q2 называются
гауссовыми координатами на поверхности. Поверхность предполагается
кусочно гладкой, причем Требуемая степень гладкости (т. е. порядок
непрерывных "производных функций (1.1)) будет ясна из контекста и
специально оговариваться не будет.
Геометрическое' место точек, для которых значение одной из координат
зафиксировано, образует кривую на поверхности, называемую координатной
линией.
Предполагается выполненным условие
-rf-xJL* 0.
dq" dq>
Векторы Р" - <?P/<?q" (а-1, 2) являются касательными к координатным
линиям и образуют базис в плоскости, касающейся новерхностнув данной
точке. Здесь й в дальнейшем греческие
индексы принимают значения 1, 2. \В общем случае векторы Рв не являются
взаимно ортогональными и единичными.
. При "переходе от одних гауссовых координат к (другим qP' базисные
векторы преобразуются по формулам
iv=p.^.
, Числа Gap=Gpa=Po,Pp называются коэффициентами первой квадратичной
формы. Через них выражается элемент дуги кривой на поверхности:
. - - х
dS* - dP - dP = G", dq" dq*.
Единичный вектор нормали к поверхности задается соотношением '
N = Р,ХР2/1 Р,ХР2 | . * ;С1.2)
Векторы Рь Р8, N образуют базис в трехмерном евклидовом пространстве,
изменяющийся при переходе от-одной точки поверхности к другой. Векторный
базис на . поверхности, взаимный
к Ра, находится из уравнений
рр . р. = $Р, рР . N = О. (1.3)
Аналогично (1.3) главы I получим
рр = QoP pe> Q"P Qp1 = 8", Р" - Ш ш, 0"Р. (.1.4)
Формулу (12) можно записать иначе:
N = P1XP2//G', G = G11G22-Gf2X ' (1j5)
Пусть в каждой точке поверхности определен Тензор X про-
извольного ранга, являющийся элементом тензорного произведения нескольких
экземпляров трехмерного евклидова пространства. Тензор X назовем
принадлежащим поверхности, если для
/V
любой перестановки Ок,8 выполняется соотношение
N*Ok, s(X) = 0. (11.6)
/V
Тензор второго ранга
G = Е -NN = G"P Р" Рр = G.pT" РР = Р" Р" (lj.7)
л/ л"
называется первым фундаментальным тензором поверхности. Ои является
единичным тензором в плоскости, касательной к поверхности. * -
•
Дифференцируя по координатам равенство N-N=l, видим,
что вектор dN/dqe-принадлежит поверхности и может-быть представлен в виде
