Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 8

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 43 >> Следующая

ранга) справедлива формула Стокса,
N • (v X P)dO = f dR • Р, (6.19)
Г
причем направление обхода контура выбирается таким образом,
->¦
чтобы у наблюдателя, направленного по нормали N и движущегося по контуру,
поверхность О оставалась-слева.
аз
Глава II
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
$ 1. Кинематика трехмерного континуума Л
Материальным телом в механике сплошной, среды называют множество, для
которого задано взаимно однозначное и гладкое отображение его в область
точечного евклидова пространства Элементы этого множества называются
частицами и обознача ются Z. Однопараметрическое семейство отображений,
зависящих от времейи t и сопоставляющих каждой частице ее положе ние в
пространстве в момент времени t, называется движение* тела:
R-x(Z,t), Z = х-1 (1Ц
Здесь R - радиус-вектор частицы Z. Область пространствг занимаемая телом
в момент t, вместе с отображением (1.1) называется текущей, или
актуальной конфигурацией. Некоторо фиксированное отображение, ставящее
частицы во взаимно одно значное соответствие с точками пространства
r=**(ZJ, Z = х-1 (Г), . (frj*
называется отсчетной конфигурацией тела. В качестве отсчетно можно
выбрать любую конфигурацию.
Согласно (1.1), (1.2) можно записать
К = х1*-Ч0, tj = х(М), . (1.3
>то есть движение тела можно рассматривать как отображен" одной области
евклидова пространства в другую.
Введя декартовы хк или криволинейные qk координаты части тела в отсчетной
конфигурации
r = xkik, qs = qs(x', х2, х8) (k, s = l,2. 3), (1.4
вместо (1.3) получим R=x(q*. q2" qst t)-
С другой стороны, можно ввести декартовы Хк или криволь нейные QM
координаты .в пространстве
24'
R = Xkik, QM == QM (X1, X2, Xs) (M=l, 2, 3). (1.5)
Вместо (1.3) движение тела может быть задано посредством функций
Q" = Q"(q\t). (1.6)
Любую тензорнозначную функцию частиц и- времени q>(Z, t) можно
рассматривать либо как функцию координат q* и времени t
Ф <Z, i) = f (Г, t) = Г (qk, t), (Д.7)
/V /V /V
либо, согласно (1.1), как функцию координат пространства QM и времени
• <P(Z, t) = <р [x_1 (R, t), t] = F(R, t) = P (QM, t). (1.8)
Л1 /V
При первом способе описания (1.7) наблюдатель следит за процессами,
происходящими в данной материальной частице. Этот способ описания
называется материальным, или лагранже-вым. При втором способе описания
(1.8) наблюдатель следит за процессами, происходящими в данной точке
пространства. Такой способ описания называется пространственным, или
эйлеровым. В соответствии с этим координаты qs (или х8),
индивидуализирующие частицу, называются' материальными, или ла-
гранжевымн, а координаты QM (или Хк) называются пространственными, или
эйлеровыми.
Рассмотрим векторные базисы, соответствующие введенным координатам.
Основной и взаимный векторные базисы в отсчет,-ной конфигурации, согласно
формуле (6.6) главы I, определяются соотношениями
W
г, = д г (qk) / dqs, rk.rs = 8k. (1.9)
. Материальный векторный базис текущей конфигурации определяется
соотношениями [26, 31, 42]
Rs = crR.(qk, t)/dq% Rk.? = 8*. - (1.10)
Этот базис называют также конвективным базисом, так как
->
длины и направления векторов Rs в данной частице меняются в соответствии-
с движением этой частицы. Будучи как бы вмороженными в среду,
координатные линии лагранжевой системы координат qB деформируются вместе
с телом.
... Наконец введем векторный базис эйлеровых координат [42]
Rm = dR(QN)/<?QM _ (dW, is, Rm -Rn = bl. (11.11)
->
При материальном способе описания базис не зависит от
времени, при пространственном описании базис Rm не зависит от времени.
Градиентом деформации С называется градиент векторного поля R(r, t):
С = v R, v = rs did qs = ikd/d xk. (1Д2)
O-
Здесь V - набла-оператор в отсчетной конфигурации. На основании (1.6), *
(1.10)-(1.12) получаем следующие эквивалентные представления градиента
деформации:
С = гТЯ, = (<?X*7<?xs) Г, С= (dQM Idqs) ? Rm • (1.13)
/V
Из определения градиента (6.3) главы I и (1.12) имеем
dR = dr-C. (.1.14)
Таким образом, тензор второго ранга С является линейным
оператором, переводящим элементарный отрезок (материальное волокно) из
его положения в отсчетной конфигурации в положение, занимаемое в текущей
конфигурации. Можно сказать, что градиент деформации представляет собой
линейное приближен ние отображения (1.3) вблизи данной частицы. Так как
преобразование отсчетной конфигурации в текущую гладкое и взаимно
однозначное, тензор С - неособый: detC=|dXB/^xk|=?fc0,
причем систему координат всегда можно выбрать так, чтобы det С был
положительным. .
Наряду с операцией градиента в отсчетной конфигурации часто используется
пространственный градиент и соответствующий11
->
ему набла-оператор V=isd/<?XS= RMd/dQM [32, 37]. Для тензорного поля
(1.7), (1.В) имеем
VF(QM, t) = RM dF'/dQ* = RM (di/df ) (dqs/dQH) = ;
= (dqs/dQ"RMrs) .>df/<?qk vf. (1,10
.. Формулу (1.15) можно .переписать- в виде символического равенства
V = C~,-v, у = С-у, (1.16)
~ . /V
О
причем подразумевается, что операторы V и V действуют на одну и ту же
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed