Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 18

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 43 >> Следующая

-фе-~(f - F), e = -nXg = eepP.p(i.
"V 2, rs/ rs/ rs/ S' ***
Здесь e - дискриминантный тензор поверхности в отсчетной конфигурации.
Вектор ф называется линейным вектором поворо-
та поверхности. Вектор <р0 ¦ выражается через линейный вектор поворота
так:
То ="п х!*Г (2.26>
Учитывая, что
V7 Р = g + f + То п, (2.27)
Л/ #Ч/
из формулы (2.10) найдем представление вектора нормали к деформированной
поверхности через вектор перемещений:
N=^g7cTl(f - gtrf - g)-9o + (l+trf + detf)n]. (2.28)
/V (V IV (V Л> *
Аналогичным образом с учетом равенства
V7 р - G - f - 9. N (2.29)
(V (V /V ".
придем к выражению
n =^"G/^[(f -Gtr f+G) -9 + (1-trf+ detf) N], (2.30).
/V" /V /V /V /V /V/
Тензорные меры деформации (12.15) - (2.17) характеризуют изменение длин
материальных волокон поверхности при ее деформации, то есть определяют
изменение метрики Деформирующейся поверхности. Для теории оболочек этих
мер деформации недостаточно, требуются еще меры деформаций, определяющие
изменение кривизны деформирующейся поверхности. Эти тензоры вводятся
соотношениями
В~ = С-ВСТ^ - (v7N).(v7P)T, В* =С-т.В-С-1', (2.31)
Л" rt# л" IV /v IV rJ ¦ -
bx = C-,-b-С~т = - (V7 n) • (bA - CT*b*C.
4V " /V IV Л1
Их геометрический смысл вытекает из разложений по материальным базисам
*
В = B.fp- рр = В"Р Р" Рр, b = Ь"?УрР = b"P pipe,
%
ВХ = B"^V, ВА = В^0рр, (2.32)'
п/ <v
Ь* = ь.рр* рР, ЬЛ = Ь% рр
Принадлежащие поверхности о симметричные тензоры В1,
Л/
ВЛ являются аналогом соответственно меры деформации Ко-
0S* *
ши G* и обратного ему тензора GA . Принадлежащие поверхно-~ ~ . сти'О
симметричные тензбры Ь1, ЬА аналогичны соответственно
(V ^
мере деформации Альманзи и тензору g4 и
Естественным образом вводятся аналоги тензоров деформации Коши и Альманзи
К = В* - Ь, к = В - Ьх , К = КарРа?,'
/S/ rs/ rs/ (V IV /V rs/
*
к = К"рР"РР, К"р = ввр-bep. (2.33)
rs/
/
Заметим, что в /го время как тензоры G1, gx являются пбло-
rs/ rsj
жительно определенными двумерными тензорами, тензорные меры изменения
кривизны (2.31) этим свойством не обладают.
Для того, чтобы получить представление тензора Вх через
rs/
вектор перемещения, найдем выражение тензора третьего ранга V'V'P,
учитывая ('1.26):
V' V'P = V'(?,P(0 =WP р)/<?Я" =
- Вх N -J- b"?nР, + (Г*р -?Р*. (2.34)
Здесь у*р и Tjp символы Кристоффеля соответственно неде-формированной о и
деформированной О поверхностей. Из (2,34) имеем
В* = (J'J'P)*N. (2.35)
#v
Используя (2.27), (2.28), из (2.35) получим
ВХ = yr~giQ {[F*9* - (1 + tr f) <pT] (v.fpT -Ь"т 9p) +
es* rs/
-f (1 + tr f -f det f) (b.p-f bj fp* + v" 9p) ) P" ? • (2.36)
rs/ rs/
По аналогии с (2.36) записывается выражение тензора Ьх: Ь* = у ЩГ {[F* 9"
+ О -tr О 9Т1 (В.т 9р - V" fpT) +
es* **
""
+ (1 - tr f + det f) (B"p-BJfp* - V. ?e)J Pe Pp. (2.37)
<v *v
На основании (2.33) из (2.36), (2.37) получим
K"p = yr"g/G' {(Р* ?"- (1 + tr f) <рт] (у. fpT - baT <Pfi) +
tv
*
+ (1 + tr f + det°f) (bap + b* !pj + v" <Pb)J - b"p = = Bap -1/^Q^'
{(fT*<p* + (l-trf)<pT] (B.T<pp -v.fp7) +
tv m
+ (1 - trf + detf) (B"p - Bjjfps - v" fp)}. (2.38)
Можно показать, что с точностью до линейных относительно перемещений и их
производных членов справедливо равенство;
У^О/*Г~ 1+tr*> jf~gjG ~ 1 - trf.
tV <v
Поэтому при весьма малых перемещениях имеем
0 0 о 4
К"р*" Vafp + b*fp",
K"k"(v4o1-g + b-fT,- - (2.39)
л" IV tv rV tv
причем можно проверить, что тензор в правой части
(2.39) сим
метричен. :
Рассмотренные выше тензорные меры деформации поверхности не являются
единственно возможными. С чисто геометриче-. ской точки (зрения вместо
тензора Gx в качестве.'меры деформа
tv •• . •-!*,
ции, характеризующей изменение метрики поверхности, можно взять
симметричный тензор, являющийся некоторой изотропной функцией от (Gx,
например Gx?" или In Gx и т. д. (Вместо тензо
tv tv tv
ра В1 в качестве меры изменения кривизны можно взять сим
tv
метричный тензор, представляющий изотропную функцию тензоров b, Gx, Вх
(такой тензор также будет принадлежать по-
tv tv
верхности о). Вместо тензора Ь1 можно рассмотреть изотроп-
0V
ную функцию от В, gx, bx. Примерами ггаких мер деформации
tv *v
"
могут служить рассмотренные выше тензоры В*, Ь*. В самом деле, нз (2.31)
следует
ВА - G* _,.в* *G* b* =g*-"-b* -gx (2.40)
** ^ fv а; м м
Применив. к неособому тензору (2.3) теорему о полярном разложении,
получим
С = (С-С^-А = А-(СТ-С)Ч' (2.41)
"V ^ А/ #4/ А/ ^ '
Собственно ортогональный Цензор А называется тензором
tSJ
поворота поверхности. На" основании (2.15), (2.16) имеем (C-CT)v, _ и' Н-
nn, 1Г = G* \
"V AT ^ Л( а?
... (Ст-€)'*• = g*-1** + NN. (2.42)
' [ • : . ". ¦***- *v г . 1 i, - *
Из (2.3), (2.5), (2.41), (2.42) вытекают формулы
С = U'-A + nN, C-1 = gx,'-AT+ Nn, - (2.43)
rst /W ~ /V Am*
V'P = U'-A, v'P==g*,/-AT, (2.44)
/V /S* .
N^n-A, n = N * AT, (2.46)
<v ^
• "
A =U'~'*v,P + ON, AT = g*-,'*v'p + Nn. (2.46)
^ IV Al
Как линейный оператор в пространстве трехмерных векторов тензор А
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed