Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ч/
тензор Р. Выражение (1.48) называется производной Ривлйиа,
ч
а (1.49)-производной Олдройда от тензора Р. Сославшись нг.
/ /V
(1.42), найдем связь йронзводных Ривдина и Олдройда с мате* риальной
производной:
¦* Y
P = P + P-LT + L-P, (1.50)
Л/ "v А* ^ М #W •
Р = Р - LT* Р - Р • L. (tlJan
^ л" м. ли
Записав представление тензора Р в лагранжевом базис
А* -*¦-+¦ *#*
актуальной конфигурации тела P=PekR8Rk= PekR,Rk и учт
ГК/
представление градиента деформации (1ЛЗ), получим вмест (1.48), (1.49)
Р - (P,k)vR'5*. Р - (P,k) R,Rk. * (1.52)
Таким образом, вычисление производной Рнвлина (Олдрой
да) от тензора сводится к дифференцированию по времени же вариантных
(контравариантных) компонент в лагранжевом век .торном базисе, в то
время, как при вычислении материально производной надо дифференцировать и
компоненты, и базисны
векторы Rk, R8.
По аналогии с (1.52) можно определить производные Рив лина и Олдройда для
тензоров любого ранга (исключая нуле вой). ' ~
Выражение
р= i-(P + P) = P+,p.?2_S.p (L53
также является индифферентным тензором и называется проиа м
водной Зарембы - Яуманна. Из (1.50), (1.51), (1.53) следуют формулы
р==р + р.е+>.Р, р - р_р.е -е-Р. (Ц-.54) Так как тензоры Р и е
индифферентны, выражение
/Ч/ /X/
Р + (Кое)оР, , (1.55)
/V Л/ Л/ /у
где К - постоянный изотропный тензор шестого ранга, будет ин-
дифферентным тензором и его можно рассматривать как некоторую
индифферентную производную по времени от тензора Р.
Представления (il.54) являются частными случаями выражения (1.55). ''
Таким образом, существует бесчисленное множество способов определения
индифферентных производных от индифферентных тензоров. В случае, когда
окрестность материальной частицы движется как абсолютно твердое тело
(е=б) все эти произ-
водные совпадают и сводятся к производной Зарембы-Яуманна.
С помощью (1.41), (1.42) непосредственно проверяется такое представление
для производной 'Зарембы - Яуманна от тензора второго ранга [22]:
Р = С-1 • (С• Р • С-*-)- . с + ~ Ст- (С-т• р • ст)- • С-т. ?1.56)
2 /V К" "V Л/ м 2 А/ ^ /V #v
Это представление позволяет дать производной Яуманна нн-
-*¦ -*¦
терпретацию типа (1.52). Действительно, учтя формулы С=г8Н"
-+¦ -> л" *
С-1 = Rkrk, из (1.56) получим ?
р - +"(РУ-Ь% (1,S7)
P;*-R, P-R% P>
Введем в рассмотрение собственно ортогональный тензор H(t), определяемый
единственным образом из следующей задачи Коши:
HJ = Q(t) • Нт, Н (0) =** Е. (1.58)
На основании (1.58) вместо (1.53) можно записать
р = НТ-(Н-Р.НТ)-• Н. (1.59)
А* /Ч/ /W /ч/ /ч/
Ортогональный тензор Н можно представить в виде
H(t) =7k1'(t), Т'(о) = Л, (1.60)
/X/ "
где' ik, i^(t) - ортонормированные базисы. Представив тензор Р в виде
разложения Р=Р'к 1, ii , из (1.59), (1.60) получим
Af
Р=(Р;кК С (1-61)
/х/
Последняя формула показывает, что производная Зарембы-
Яуманна есть производная* по времени, вычисляемая с точки зре
->
ния наблюдателя, неподвижно связанного с системой осей ь вращающейся с
угловой скоростью частицы <о = --До ?2.
Представление (1.59) подсказывает способ определения производной Яуманна
для тензора любого ранга:
Р = Avh{IAvht(P)]-}. (1.62,
/X/ /X/ /Ч/ А/ * -
Под производной Зарембы - Яуманцд от скаляра (тензор нулевого ранга).
будем. понимать материальную, производную Рассмотрим тензорнозначную
функцию некоторого числа тен зоров произвольного ранга, зависящих от
времени:
Y = f[Tt(t), ...vTm(t)]. (1.63J
/V /SJ /X/ f
Из определения пройзводной тензорной функции (5.8) гла вы I
непосредственно вытекает формула для материальной производной по времени
от тензора Y:
V -= f. т. о т, + ... + f, Т|В о ти. (ш;
/ч* Л" ** /х/ ''v
Производная Яуманна обладает важным свойством, выдели ющнм ее среди
других операций индифферентного дифферент* рования по времени.
Оказывается, что если функция f есть изо тройная или гнротропная функция
своих тензорных аргументов то для производной Яуманна верна формула типа
(1.64):
Y = f, т. °'T, + ... + f. t о Tm. (1.65>
/V <V /V /V
Л/
• Некоторые из тензоров Tk (k=l, 2, , m) могут иметь ну-
л/
левой ранг, т. е. быть скалярами. #
Чтобы избежать, громоздких обозначений, приведем доказательстве
соотношения (L65) в частном случае изотропной функции Y = f(T), где Т и Y
- тензоры второго ранга. По свойству
изотропности (5.5) главы I и в соответствии с (1.59) имеем. Y = Нт • (Н •
Y • Нт)-. Н = Нт • [f(H • Т • Нт)]'. Н =
ГК/ Л/ <v Л/
=НТ . [0(Z)oZ] • Н, Z = H-T.HT, (r)(Z) = f,z. (1.66>
/Ч/ Л/ fKJ *V . /V Л"
Будучи производной изотропной функции f, функция Ф(2)"
/4# {К/
значение которой есть тензор четвертого ранга, изотропна. Пусть
->
ек - некоторый фиксированный (не зависящий от времени) век-торный базис,
а ег-.базис, взаимный к нему. Положив Ф= =Фк8треке8етер, Z = Zrqere(i,
будем иметь
Л/ ' .
O(Z) =. Ф (Н-Т-Нт) = Аунт [Ф (Т)] =
rv Л/
- фквшр (т) (Н . ek) (H-es)(H -em) (Н . ер),
Л/ /V Л/ /V" Л"
Ф (Z) о Z = Ф*"" (Т) Zrq ((Н • ек)(Н - е* )(Н • е^)( Н *ер)) о (?е<)=
/V fV (V "V "V
