Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 10

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 43 >> Следующая

V* V*
J = | dXJdxk | = detC = /diO: = -/'G/i;
/V /V/
О - | Gsk i , g = I gsk I . * (1^35)
Здесь V* - объем, занимаемый выделенной частью тела в от-
м
счетной конфигурации. Так как часть тела v* произвольна, при-ходим к
формуле преобразования элементарного объема при деформации
dV=Jdv. (1.36)
Масса произвольной части материального тела остается постоянной в
процессе движения. Отсюда p0dv=pdV, где р0 - плотность материала в
отсчетнбй- конфигурации, р - плотность в деформированной, актуальной
конфигурации. Из (1.36) получаем формулу изменения плотности при
деформации
p=J-ip0. (1.37)
Приведем без доказательства формулу преобразования при деформации
элементарной ориентированной площадки [31, 32]
NdO e*'CL • rTdo. (11.38)
Из (1.38) вытекают формулы преобразования элемента площади и вектора
единичной нормали .
dO=
=J Vn • Л-> -"n do, N = (п • Л-> • п)-'/> С-1 • п. (1.39)
Рассмотрим пространственный градиент поля скоростей материального тела
L = vv (1.40)
и разложим его на симметричную и антисимметричную составляющие с
использованием формулы (3.2) главы I:
L -е S, e=-i-(L + LT), Q=4-(LT-L), (1.41)
~ r*j /Ч/ /V Z /V ~ /ч/ сь/ /ч/
2 = ЕХ<о5 " =--------*-Д" 2, 0> = -^vXv.
/ч/ ? Г-*> r\J X
Симметричный тензор в называется тензором скоростей деформаций,
антисимметричный-тензор Q-грином, а сопутству-
-*¦ ts*
эщнй ему вектор "о называется угловой скоростью частицы. Тен-;°Р в
характеризует скорость .чистой деформации. Действнтель-
tof если материальное тело движется как абсолютно твердое, *о поле
скоростей имеет вид
SI
V = V0 + % X (R - Ro), V0= R0, и no (1.40), (1.41) получим
L = - v(R -Ro)X% = -EX% e = 0, u) = 4o0.
Из (1.12), (1..16) получим связь градиента поля скоростей со скоростью
градиента деформации
L = yv = C-1 • у v = C-1 • С, С = С • L. (1.42)
/V f\t /V rv /V IV
Далее, согласно (1.25), (1.29), имеем 4
Л = 2С • е • Ст, Й = С.е-Ст. (1.43)
'V /ч/ /V /V /V 'v /V
**> ->
Два движения материального тела R=x(Z, t) и R*=%*(Z, t) называются
эквивалентными [47, 61], если они связаны соотношением
X* (Z, t) = a(t) + [x(Z, t) -p] • Q(t), (1.44)
где Q(t) - произвольный ортогональный тензор, a(t)-произ
/ч/ , "
вольный вектор, р - постоянный вектор, задающий фиксирован ную точку
пространства. Введя по формуле (1.2) отсчетную кон фигурацию, условие
эквивалентности движений можно записаг в другом виде:
R* ?, t) = a(t) + [R (Т, t) - р] • Q(t). (1.45}
/V
Так как в (1.44), (1.45) вектор a(t) и тензор Q(t) одинакова
л ~
для всех частиц, хотя и могут произвольным образом зависет от-времени,
эквивалентные движения отличаются друг от друг движением материального
тела как абсолютно твердого. Поэте' му эквивалентные, движения можно
трактовать как одно и то ж движение материального тела, ио
рассматриваемое с точки зр" ния различных систем отсчета.
Из (Г. 12), (1.45) следует, что градиенты деформации в дву эквивалентных
движениях связаны соотношением
С* = С • Q. (1.4*
г Пусть в каждой частице материального тела определены некоторый скаляр ф
и тензор Т произвольного ранга. Скаляр называется индифферентным
(употребляются также термины: независимый от системы отсчета,
объективный, нейтральный), если для любых двух эквивалентных движений
выполняется соотношение ф*=ф.
Тензор Т называется индифферентным, если .для любых двух эквивалентных
движений выполняется равенство
Т* = Avq (Т). (1.47)
л/ <r%r
С помощью (1.25), (1.26), (1.46) нетрудно проверить, что тензоры Л-1, Л
неиндифферентны так же, как й тензор деформаций
IX/
Кошн - Грина И. Меры деформации Альманзи к и Фингера Ат1,
~ <v
а также тензор деформаций Альманзи и суть индифферентные
* IV •
тензоры. Так как А*=А, из (1.43) и (1.46) следует, что тензор
IV /VI " *•
скоростей деформаций е индифферентен. Спин й, разумеется,
IX/ IV
неиндифферентен так же, как тензор поворота А. Вектор ско-
рости частицы v также неиндифферентен, рак как очевидно, "что он зависит
от системы отсчета. ¦
Примером индифферентного вектора может служить вектор
единичной нормали N к поверхности тела в текущей конфигурации. Его
индифферентность легко устанавливается с помощью формулы (И.38).
Инварианты тензоров Ли А есть индифферентные скаляры.
Л1 м
Из определения (1.47) непосредственно вытекает следующее утверждение.
Значение изотропной функции от индифферентных тензоров произвольного
ранга есть индифферентный тензор.
Рассмотрим материальную производную по времени от индифферентного тензора
второго ранга Р. Так как в (1.47) орто-
/х/
.тональный тензор Q может произвольным образом зависеть от
. л;
времени, тензор Р не будет индифферентным. Однако можно по-
л/ 4
строить также операции дифференцирования по времени, которые приводят к
индифферентным тензорам. Возьмем следующие выражения:
2. Зек. 5
*>
Р - С-' • (С • Р. Ст) * • С-т, (1.48)
М ^ Л/ Л* Л* Л1
р "¦ ст • (С-т • Р • С-1)' * С. (1.49)
л* т* м м "V
- "-
С помощью формул (1.46), (1.47) нетрудно убедиться в том
V д
что тензоры Р и Р суть индифферентные, если индифферентен
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed