Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 19

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 43 >> Следующая

переводит главные оси тензора Gx в главные оси
Ai AI
тензорр gx а .вектор п - в вектор N:
(V
Если в процессе деформации в каждой точке поверхности тензор деформации
Коши равен нулю >(т. е. Gx = g), то длина
' /V IV
любой кривой на поверхности остается неизменной. Такие деформации
называются изгибаниями поверхности. При изгибаниях каждый элементарный
отрезок на поверхности испытывает жесткий поворот, задаваемый тензором А.
В самом деле, из
#4/
(2.44) при Gx = g имеем
dP= dp-A. (2.47).
#v
С помощью теоремы Гамильтона - Кэли (1.12) легко проверить справедливость
формул*
= (2/17 + it)-'- (VTU + Gx),
IV Al ^
U'-' = 1/. <2/17 + I,)-* |g(I1 + yT\7) - GX],
IV Л1 iv
It = tr GX, Ia = det GX = G/g = -L [I* - tr Gx*]. (2.48)
~ л/ # 2 a#
Здесь Ib Ь - первый и второй инварианты меры деформации. Gx. Из (2.46),
(2.48), (2.9), (2.10) вытекает явное выражение
IV
тензора поворота через поле перемещений поверхности [19]:
уГ% А - (2/17 + feO. + )-Gx]-v'P + [(V'P)T]L.
(2*49)
Сходйщийся для любого тензора второго ранга X степенной
IV
ряд
ехр
п>=0
называется экспонентой тензора. Для нее справедливы, соотношения ¦[И]
^хрХ-ехр4-X) = Е, detfexpX) = exp(trX). (2.51)
•Si IV IV IV ^
-> ">
Для антисимметричного тензора Х = %кХЕ, где к - еди-
-*¦ IV Л/ ^
ничный вектор, имеем [exp (хЕX к)]т=ехр]-уЕ X й]-
IV
Отсюда и из (2.51) вытекает, что экспонента антисимметричного тензора
есть собственно ортогональный тензор. Более того,, можно показать, что
антисимметричный "показатель" экспоненты единственным образом
определяется по заданному собственно ортогональному тензору. Таким
образом, тензор поворота А
допускает однозначное представление
А = exp (х Е X к). (2.52)
"V л"
Далее имеем
(Е X к)2 = к X Е X к = к к - Е, (Е X к)2т =(- 1)"-* (к к - Е),
Л/ Л/ ^ ' "V
(Е X к)8 = (к к - Е)-Е X к = - Е хТс, (ЕХк)2т+1= (-1)"ЕХк.
А/ Л/
Из этих соотношений на основании (2.50), (2.52) получим такое
представленйе собственно ортогонального тензора:
А = (Е - к к) cos х + к к - к X Е sin х- (2.53)
IV А"
Известно, что любое перемещение абсолютно твердого тела с неподвижной
точкой сводится к повороту на некоторый угол вокруг некоторой
фиксированной оси. С другой стороны, смещение твердого тела можно задать
с помощью собственно ортогонального тензора. Формула (2.53) дает
выражение этого тен-
.5' '
зора через угол поворота х и вектор к, задающий направление оси поворота.
-*¦
Бместо вектора хк удобнее пользоваться так называемым вектором конечного
поворота [30]., который вводится соотношением
0=^ktgx/2. (2.54)
Воспользовавшись известными формулами тригонометрии
с08х=-slnx-.............2|g"'2-, (2.65)
l + lg-X/2 *
из (2.53) получим представление тензора А через вектор конеч-ного
поворота поверхности:
А=-1-[(4-в2)Е + 2Гв-4ЕХв], -
zw 4~г" t%,
e2 = e.e=4tg2x/2. (2.56)
Выражение (2.56) можно преобразовать еще к такому виду:
а = (е--i-Exl) *(е +^Ех'е)"1 =
#V V "у 4. ~ /
3. 9м. л 45
\
(? + т5 хV • fe - т 5 x1) • -
Обращение зависимостей (2.56), (2.57) имеет вид 1 = 2(1 + tr А)-1 Д о А,
М ГМ /V

Е X в *=* 2(Е - А) • (Е + А)-1.
"v л" л*' л#
(2.58),
Если подставить в (2.58) выражение (2.49) и сохранить толь*
ко линейные относительно доктора перемещения и члены, тем
в этом приближении получим 0 " ф, где ф-определяемый формулой (2.25)
линейный вектор поворота.
Тензор- !ВХ, -определяющий кривизну деформированной по*'
верхностн, можно выразить через вектор конечного поворота $ и меру
деформации Коши Gx. Согласно (2.31), (2.44), (2.45)
Дифференцируя тождество А • Ат = Е, легко убедиться t
л* iv <v
том, что тензоры (<dA/dqa) • Ат (а-1, 2) антисимметричны а
IV - л/
поэтому допускают представление
Из (2.56) можно получить следующее выражение векторов ра через вектор
конечного поворота:
имеем
ВХ = _ { V' N) • (V Р)т - - [ V (п• А)) • Ат • U'
м Л# А" /V
= b-U' --р*п• (dA/<?q") • Ат- U'.
(2.59)
(<?A/<?qe).- Ат = - Е X ра. *******
(Q?Oy
Теперь из (2.59)-(2.61) следует.
м
Представив вектор 6 в виде разложения:
е=Фхп + "Рп, Фп=о, Ф = пхе, "г = пе, (2.63)
вместо (2.62) можно получить
ф* == ф.ф "а 0*- ?>.
Симметричные тензор
(2.64)
Кх 4 [вх -U+ U'-1 • Вх J - b
^ ^ <V fV
(2Л5)
можно использовать в качестве тензорной меры, задающей изменение кривизны
поверхности в данной точке при деформации. Как следует из (2.64),
особенность этого тензора состоит в том, что он выражается только через
вектор конечного поворота н его первые производные по гауссовым
Координатам. Если деформация, .поверхности представляет собой изгибание,
то тензоры К1 и К совпадают.
Если линеаризовать соотношение (2.65) относительно перемещений, то
получим применяемую в линейной теории оболочек [53] меру изменения
кривизны, выражающуюся через линейный вектор поворота поверхности.
^ Заметим, что представление (2.38) тензора К через вектор
л/
перемещения, содержащее вторые ковариантные производные, чрезвычайно
громоздко. Получаемое из (2.64), (2.65) выражение тензора !КХ через
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed