Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
->
материальную ориентированную площадку NdO в деформированной конфигурации,
выражается через направляющий вектор
->¦
ndo этой площадки в отсчетной конфигурации:
N*T dO =*F dO - n <D do. (2.6)
r'<J
Здесь использована формула (1.38).
Уравнения движения (2.3) через тензор напряжений Пиола' записываются в
метрике отсчетной конфигурации:
Г-D + РоК = ро v. (2.7)
Уравнение локального баланса моментов (2.4) накладывает следующее
ограничение на несимметричный тензор Пиола:
CT-D = DT*C. (2.8)
/X/ tSf Л/ Л/
Соотношениями
р, = С-т-Т-С-1, Р" = С.Т-СТ (2.9)
14/ /V
вводятся симметричные тензоры Pi и Рц, называемые соответ-
/ч/ ***
ственно первым и вторым * конвективными тензорами напряжений. ' i.v.
41
*>"
Записав разложение тензора напряжений Коши в лагранже-вом базисе
актуальной конфигурации
Т = tsk R, Rk = t!k R* Rk (2.10)
и используя ('1.13), получим из ((2.9)
Pi=tskTeTk, Pn = u r8>. (2Л1)
/у ,<v
Для тензора напряжений Пиола справедливо представление
D = Jt*ki^Rk.
Тензор напряжений Коши Т характеризует контактные силы
взаимодействия частей тела в актуальной конфигурации и никак не связан с
какой-либо отсчетной конфигурацией. Тензоры D, Pi, Рщ-поскольку в их
определениях участвует градиент
Л/' #4/ /ч/
деформации, зависят от выбора отсчетной конфигурации. Из
свойства индифферентности контактной силы F и вектора нор-
мали N вытекает индифферентность тензора напряжений, в то время как
тензоры D, Р*, Рп неиндифферентны.
<v rst
Использование относительного градиента деформации (1.70) позволяет ввести
в рассмотрение относительный тензор напряжений Пнола и относительные
конвективные тензоры напря-
Ж6НИЙ*
Dt(x) = Jt(x) СГТ(*) • Т(т), Jt(x) = del Ct(x), (2.12)
IV* IV "V
"Ри(т) = СГ7(х).Т(я).С^(т),
~ л" л;*
Рщ(т) = ад.Т(т).СДт).
fV "V
Рассмотрим материальное тело, движущееся под действием
поверхностных сил F н массовых сил К, и вычислим скорость изменения его
кинетической энергии:
1 pv-vdv--|-fjjp°y-*<lv,
I = JJJp V-v dv = JJJ V. (v-T + Р К) dV =
-Щ,К¦ vdV + jp-vdO +fJJ(-*> dV, " = T0 v о v
(2.13)
Здесь, использованы уравнения движения (2.3), свойство симметричности
тензора напряжений и выполнено интегрирование по частям с применением
формулы Остроградского - Гаусса (6.18) главы I. _
Согласно, известной теореме теоретической Механики, скорость изменения
кинетической энергии системы равна мощности всех внешних и внутренних
сил. Первые два интеграла в правой части (2.2) представляют собой
мощность внешних сил, приложенных к материальному телу. Поэтому третий
интеграл. естественно назвать мощностью внутренних сил материального
тела. Индифферентный скаляр я называется мощностью напряжений. Для этой
величины справедливы представления
к - Т о е = JLp, о А -----Р" о (Л-1)' - J-1 D р С. (2.14)
А/ /V 2 (V (V 2 IV Л* л/ л/
Материальное тело-называется гиперупругим (идеально упругим), если
существует такая функция W[A(t)], называемая
удельной потенциальной энергией деформации, что для любых движений
выполняется соотношение
J* = W. (2Л5)
Дифференцируя W как сложную функцию и учитывая, что -А- произвольны!)
симметричный тензор., получаем из (2,14)
Pi =2J-! W.a*=J-1W,H' Р" = -^-'W.a-s (2.16)
"V Л" (V "V
D == W.c, т = 2J-1 Ст* W. А • с.
/V /V I М л*
Для мощности внутренних сил гиперупругого тела имеем, согласно (2.15):
ДО (->"-Я!**-Ш wdv'='D'
V v v
n = UJwdv. (2.17)
V
Так как W есть потенциальная энергия деформации, содер-
4"
экащаяся в единице объема отсчетной конфигурации, величина П представляет
собой потенциальную энергию всего тела. Формула (2.15) показывает, что
мощность внутренних сил в гиперупру-гом теле равна скорости убывания
потенциальной энергии деформации. _
Сформулированное выше определение гиперупругого тел а-является несколько,
формальным, хотя и не лишено физического содержания. Более обоснованным с
физической точки зрения является вывод соотношений (2.16) из законов
термодинамики , [35, 42, 47], причем оказывается, что представления
(2.16) действительно выполняются для изотермического или адиабатиче- *
ского процессов.
Соотношения вида (2Л6), выражающие напряжения в части- j це через
движение окрестности частицы, в механике континуума ¦ принято называть
определяющими соотношениями, так как они ; определяют, задают
механические свойства материала. Для ги-шерупругого материала, согласно
(2.16), тензор напряжений в ! частице в данный момент времени полностью
определяется за- ; данием градиента деформации в этой частице в тот же
момент \ времени. Модель гиперупругого материала не учитывает влия- ; ния
предшествующей данному моменту времени истории деформации на тензор
напряжений, то есть пренебрегает эффектами памяти материала.
Иногда используется модель материала, в которой эффекты-памяти также не
учитываются, но существование энергии деформации не предполагается. Такие
материалы называются упругими и имеют такое определяющее соотношение
Т = Ст-<р(Л)..С, * (2.18),
^ "V "V
где ф - тензорная функция, значение которой есть симметричный тензор
