Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
вектор конечного поворота значительно
проще. Этим обстоятельством обусловлена целесообразность применения
вектора конечного поворота в нелинейной теории оболочек.
Согласно тождеству (1.25) и формуле (2.44), имеем
/V
О О
^•(е-и'-А) = 0.
(2.66)
э*
. С помощью (2.60), (2.61) уравнение (2.66) преобразуется к виду
о о л -* о / дЬ t дЬ -*¦\
^<Г!Л-^'Г!Гх(1Г+т1Гхв)-0' <2Й7)
Векторное уравнение (2.67) состоит из трех скалярных дифференциальных
уравнений относительно трех компонент тензо-
ра U' и трех компонент вектора 0. Эти уравнения представля-
ют собой необходимые и достаточные условия, которым должны ..
•удовлетворять тензор У' и вектор поворота 6, чтобы определяемый ' - '
•*"#. в по ним, согласно (2.44), тензор V'P действительно был гради- *¦
ентом на поверхности от некоторого векторного поля. Поэтому условия
(2.67) называются уравнениями совместности для тен-
зоров U' и А. По заданным функциям U'(q*, q^), 0(q-, q2),
/V Л/ • #4/
удовлетворяющим уравнениям (2.67), лоле вектора перемещений ' находится с
помощью квадратур из уравнения
du = dP~dp = dp- (I/ • А - g). (2.68)
Вектор конечного поворота в нелинейной теории оболочек впервые был введен
в работе [60] способом, отличным от изложенного выше. Сравнительная
простота и компактность настоящего изложения теории вектора конечного
йоворота достигнута за счет применения бескоординатных методов тензорного
анализа.
Широкому применению вектора конечного поворота в уточненной (с учетом
деформации поперечного сдвига) нелинейной теории оболочек посвящены
работы [66, 57].
Формулы (2.67), (2.68) решают вопрос об определении вектора перемещений
по заданному тензору деформации Коши поверхности и заданному вектору
конечного поворота. Может воз-никнуть задача определения перемещений
точек поверхности по заданным тензору деформаций и какому-либо тензору,
определяющему изменение кривизны поверхности, что эквивалентно заданию
функций Gx(q1, q2), Bx(q1, q2). А эта задача равно-
сильна задаче определения радиуса-вектора точки деформированной
поверхности по известным первой и второй квадратичным формам этой
поверхности. В дифференциальной геометрии доказывается, что поверхность
определяется своими основными квадратичными формами с точностью до
перемещений абсолют-
ч
но,твердого тела. При этом квадратичные формы должны быть подчинены трём
соотношениям, называемым условиями Гауе-са - Кодацци. Эти условия,'
которые можно, очевидно, рассматривать как уравнения совместности для
тензоров Gx и Вх, име-
* Л/
ют вид [27]
Ви В22 - В?2 = dTus/dq2 - dT^ldq' + Г", Гв2,2 -
- г?2 Г(r)1.2; Г"р,8= G.^a Г?р; (2.69)
е"Р VpBaT = 0. (2.70>
Последнее уравнение можно переписать в более явном виде: <?Ввр/дф -
дВ^/дц* + ГтрВц- reV ВтР = 0. (2.71 >
Так как символы Кристоффеля и Гар, v выражаются через коэффициенты
первой квадратичной формы Gap, видим, что-
(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Bap. Уравнение
Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности через; -
коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодацци (2.71) есть
следствие того, что второй фундаментальный тензор поверхности
представляет собой градиент вектора нормали.
Заметим, что соотношения (2.69), (2.70), записанные для квадратичных форм
gap, bap недеформированной поверхности, являются тождествами, поскольку
эта поверхность задана.
§ 3. Попе скоростей деформирующейся поверхности
Вектор скорости частицы движущейся. поверхности определяется очевидным
соотношением
v = Р. (3.1)
Соответствующий градиенту деформации (2.3) тензор L (гра-
/ч/
диент поля скоростей) находится по формуле (1.42) главы II:
L = С-1 - С = С-1 • (V'P + п N) = y'v + N N. *(3.2)
/V /V" <v гч/
Здесь использовано соотношение, связывающее набла-опера-торы на
Поверхностях О и о:
v'^c-'V =(V'P)V. (3.3)
6*
Скорость изменения вектора нормали проще всего вычислить с помощью
вытекающего из (2.3) соотношения
CN = п. ' (3.4)
Дифференцируя (3.4) и учитывая, что N-N=0, получим
N = - С-1 • (v'v)-N = - (v'v) • N = - N • (v' v)T. (3.5)
\ Обозначив
" = -N = N.(v'v)T = v'w + B-v', (3.6)
" IV
vO, w - v-N,
№
жз (3.2) получим с учетом (1.27)
L = (v'v')-G -Bw-f "N -N". (3.7J
IM Ml - •
-> - -
Здесь v' - составляющая вектора скорости, лежащая в каса--тельной к
поверхности О плоскости, w - нормальная составляющая скорости.
Разложение тензора L иа симметричную и антисимметрии-
Ml
иую составляющие приводит к тензору скоростей деформаций поверхности е и
вектору угловой скорости частицы йтоверхно-
""> #v
сти w:
L = е - Е X (3.8У
mi а/ л, v
e = ^l(v'v>G + Q.(v'v')T]-Bw,
' Ml * IV rw Ml
EX(B=?2=i-[G-(v|v')T- (V'v')-G] + N6 -&N, ¦'
Ml Ml Z /V IV P
w = &xN + wN, ("=N-ii)=yN-(v'Xv').
Тензор e симметричен и принадлежит поверхности О в eel
Л/
актуальной конфигурации. Он характеризует скорости измене-70
няя удлинений элементарных волокон на поверхности. Действительно,
допустим, что окрестность некоторой частицы поверхно-
-f
стн с радиусом-вектором Р0 совершает жесткое движение, т. е_ поле
