Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
"г def ' Х~
и = -- •
.Х.
С R2.
Тогда
где
d.V
-fij- = A0U + F (p, U),
(VI11.63)
A0 =
0 1
-cog 0
и F (p, U) =
0
f(uu u2, p)_ ¦
Здесь U = 0, вообще говоря, не является установившимся решением
(VIII.63), за исключением случая, когда р = 0. Однако существование
установившегося решения при р ф 0 может быть гарантиро-
160
ГЛАВА VIII
вано теоремой о неявной функции в R2, и его можно построить, используя
разложения в ряды
где есть (/-линейная по U и симметрическая функция. Получаем
и так далее.
Поскольку собственными значениями матрицы А0 являются ±ico0, то нам нужно
рассмотреть возможность бифуркации Хопфа в периодические решения. В
теоретической части этой главы мы сначала привели задачу к локальной
форме (см. § 1.3) и использовали предположение о том, что потеря
устойчивости решения и = 0 является строгой. В нашем случае U = 0 не
является решением для всех р, близких к нулю, и нам необходимо
сформулировать снова условие того, что решение U (р) теряет устойчивость
строго, когда р, возрастая, проходит через нуль. Сначала произведем
линеаризацию
A +Fl/(p, U (р) | -) - А0 + р [Fij (•) + 2F.J (Uj, -)] + 0(р2). (VIII.
66)
Собственные векторы, соответствующие собственным значениям ±ico0, суть ?0
= (1, tco0) и ?". Точно так же находим сопряженные собственные векторы
Собственное значение ст(р), отходящее от собственного значения ко0,
удовлетворяет соотношению (VIII. 14); поэтому
и (м-)=
1
F(p, U) = 5>Fw(U и), F00 = F01
P. я
(VI11.64) = 0, (VIII.65)
AoU1 + F10 = 0,
A"U2 + F20 + Fll(U1) + F02(lJ1, U1) = 0,
где
F^o- с
I p(HS->
F"a(U, V) =
Поэтому
°n (0) - <F?I (?0) + 2Fo2 (U1( ?0), g0*> =
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 161
Условие Хопфа имеет вид
2Кеад(0) = /1О1+Цр>0. (VIII.68)
(Со
Предположим теперь, что условие (VI 11.68) выполнено и
Р = 2
П> 1
со = со" -|- 2 ю "е", (VI11.69)
4=2 Vnen, V"(5 = V"(s + 2n).
п> I
Приравнивая члены при одинаковых степенях е в обеих частях уравнения
cog-A0U = F(p, U),
находим, что
(VIII.70)
Поэтому получаем
^i = ?</,s + ?oe ^ + (VIII 71)
^0^2 + (r)i -?~ - РгРn + F()2 (Vt, Vj) + PXFn(Vj) + PjF20 и, используя
(VIII.67),
t'co, = рхОц (0).
Находим, что
со ] = р1 = 0,
V, = gue"+ ?""-'*, (VI11.72)
Va = JJiT1 F02 (Vlf VjJ + p.Uj, где Л"1-оператор, обратный Л0 на
подпространстве, ортогональном к g*V*, He~is.
Теперь определим со2 и р2, применяя (VII 1.67) к уравнению
JJqVs + ш2 ^ = ,u3F 10 + 2F02 (Vx, V.) + p2Fn (V,) +
+ F03(Vlf V,, VJ. (VI11.73)
Следовательно, V2 и V3 суть функции от р2. Продолжая этот процесс,
получаем ряды (VI 11.69), дающие бифуркацию Хопфа, где, как обычно, р и
со представляют собой четные функции относительно е.
Замечания
Исследованы следующие специальные задачи бифуркации Хопфа (рис. VIII. 1):
(1) Четыре простых собственных значения, две пары комплексно-
сопряженных, пересекают мнимую ось одновременно. Эта задача исследована
Йоссом (G. Iooss, Direct bifurcation of a steady solution of the Navier-
Stokes equations into an invariant torus. Turbulence and Navier Stokes
Equations, Lecture Notes in Mathematics, No. 565, New York-Heidelberg -
Berlin: Springer-Verlag, 1975, pp. 69-84).
162
ГЛАВА VIII
(2) Два простых комплексно-сопряженных собственных значения пересекают
мнимую ось в критической точке, но нестрого; например, ?(0) = ?' (0) =
?"(0)=0, (0) Ф 0. Эта задача исследована Кильхёфером (Н. Kielhofer,
Generalized Hopf bifurcaticn in Hilbert space, Math. Methods in Applied
Sciences, в печати).
Рис. VIII.1. Бифуркация Хопфа в специальных случаях.
(3) Два кратных собственных значения пересекают мнимую ось в
критической точке: Н. Kielhofer, Hopf bifurcation at multiple
eigenvalues, Arch. Rational Mech. Anal, 69 , 53-83 (1979).
Более общими и интересными для приложений являются задачи, в которых
различные собственные значения пересекают мнимую ось почти одновременно,
В таких исследованиях удобно вводить два возмущающих параметра, как в
работе Ленгфорда (W. F. Langford, Periodic and steady-state mode
interactions lead to tori, SIAM J. Appl. Math., 37, 22-48, 1979). При
наличии дополнительной симметрии смотрите результаты Кинера (J. Keener,
Secondary bifurcation in nonlinear diffusion reaction equations, Stud.
Appl. Math., 55, 187-211, 1976), Холмса (P.Holmes, Unfolding a degenerate
nonlinear oscillator: a codimension two bifurcation, New York Academy of
Sciences Proceedings, Dec., 1979) и Йосса и Ленгфорда Ю. looss, W.
Langford, Conjectures on the routes to turbulence via bifurcations, New
York Academy of Sciences Proceedings, Dec., 1979). Указанные авторы
исследовали случай (4), когда пара простых комплексно-сопряженных
собственных значений и одно вещественное простое собственное значение
пересекают мнимую ось почти одновременно, и случай (5), который также
представляет интерес, когда две пары комплексно-сопряженных собственных
значений пересекают мнимую ось почти одновременно.
Другой интересный специальный класс задач обладает инвариантностью по
