Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
физических примерах этот тип бифуркации тесно связан с нарушением
пространственной симметрии.
Рис. IX.1. (а) Двусторонняя бифуркация Г-периодических решений в Г-
периоди-ческие решения; (б) односторонняя (на рисунке-суперкритическая)
бифуркация в 2Г-периодические решения.
Если п - 2, то небольшие вычисления с использованием (IX.30) и (IX.36)
показывают, что
p1 = [^/rfaa(^|g|?),g*W2^ = 0.
Тогда уравнение (IX.50) разрешимо относительно и2(с 14 = 0), а уравнение
(IX.51) разрешимо относительно и3 тогда и только тогда, когда
3ploM.(0) + 3[faiI((|Z |u,), Z"]2r + [faaa((|Z|Z|Z), Z*]2J = 0.
В общем случае р2^=0.
Можно показать, используя метод математической индукции, что все
производные нечетного порядка от р (е) равны нулю в случае п = 2. Поэтому
для 2Г-периодической субгармонической бифуркации имеем
р(е) = р(-е). (IX.58)
Отсюда следует, что в отличие от Т-периодической бифуркации с n = 1
двусторонняя, или транскритическая, бифуркация невозможна, и эта
бифуркация является односторонней, суперкритической, если ветвление
происходит вправо, и субкритической, если ветвление происходит влево.
Докажем теперь, что если в 2Г-периодическом решении начало отсчета
времени сдвинуть на Т, то будем иметь решение, получаемое из исходного
решения в результате изменения знака амплитуды е. Это означает, что
направление вектора и((, е) изменяется через промежуток времени Т. Если и
интерпретировать как радиус-
178
ГЛАВА IX
вектор движущейся точки, то он движется в одну сторону в течение одной
половины периода 2Г и в другую сторону в течение другой половины. Для
того чтобы доказать это, запишем
оо
U (/, е) = ? е^ир (/).
Р= 1
Далее, ир представляет собой полином, членами которого служат комбинации
векторов из Рг с экспоненциальными коэффициентами вида
Шг в
exp ~Y^ = kp, (IX.59)
где гр-нечетное целое число, если таковым является р, и четное целое
число, если р-четное. Поэтому
in {t + T) I - kp< если P нечетное,
exp T rp ^ ^ четное.
Следовательно,
оо оо
Mt + T, е) = ? ^а,(/ + Л = ?Ц^и|,(0 = и(Л-е).
pi = р= I
Полученные результаты суммируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Если f аналитическая и выполняются условия (I), (II) и (III) §
IX.6 с п= 1, 2, то существует единственное нетривиальное бифуркационное
решение уравнения (IX. 1). Если n= 1, то бифуркация является, вообще
говоря, двусторонней', если п - 2, то она-односторонняя. В главном
порядке
u (t, e) = &t,{t)em +0 (е2),
ещ + О (е2), если п- 1, е2р2 + 0 (е4), если п -
где 0 = 0, если я=1; 0 = л/Т, если п = 2. Кроме того, в случае п = 2 р-
аналитическая4) функция от г2 и u{t+T, е) = и(t, -е).
Мы завершим этот раздел формулировкой другой теоремы о факторизации.
Теорема. (Устойчивость субгармонических бифуркационных решений при п= 1 и
п = 2.) Решение уравнения (IX.6) можно представить в виде
3u (t, е) dp (е)
Ме)=) о 2ц , п 1<,4Л (1Х'6°)
у (/, е) = Ь(е)
08 ds
g(*. е)€Рлг
(IX.61)
О Если f аналитическая по (р, и).
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ [79
и
v(6)=tv> (ix-62>
где b (е)'-нормализующий множитель, а у(е) и g (t, е) удовлетворяют
уравнению
(*" V' u^' +
И (8), U(t, 8)|g). (IX.63)
Если e мало, то
у(е) = -а1Х{0)е+0(гР),
где р - 2, если п= 1, и р = 3, если п = 2.
Оставляем доказательство этой теоремы о факторизации в качестве
упражнения для читателя. Это доказательство проводится на основе тех же
самых рассуждений, что и в § VII.8. Эта теорема о факторизации
показывает, что субкритические решения неустойчивы, а суперкритические
решения устойчивы, если е мало; она указывает на смену устойчивости, если
никакое другое собственное значение, кроме у (е) (возможно, комплексное),
не пересекает мнимую ось при возрастании е от значения, отвечающего точке
бифуркации, до значения, которое соответствует экстремальной точке.
§ IX.13. Бифуркация и устойчивость лГ-периодических решений с л> 2
пТ-периодические решения с п > 2 относятся к случаю (2), указанному в §
IX. 10. Условие нормировки (IX.47) требует, чтобы
?'Фо = [Ul, Z*]nT.
Поэтому в качестве их, удовлетворяющей уравнению Ли^О, можно взять
и, = eirf°Z-\-e~ i(p°Z =
= exp t (фо + (?^) ) ? (() -f-exp (-" (<p0 + (^) ) ) g (*). (IX.64)
Использование альтернативы Фредгольма для (IX.50) с учетом (IX.41)
показывает, что уравнение (IX.50) разрешимо, если
2Pi [fun (t | Ui), Z*]ra7--j- [faa (/1 Uj | uL), Z*]"r = 0. (IX.65)
180
ГЛАВА IX
Для упрощения вычисления интегралов, подобных тем, которые входят в
(IX.65), напомним, что
пТ
[a(/),Z= <а (0. Z*(t)>dt =
о
пТ
= W J е-2л,'т</пГ <а (0, е* (/)> d/ =¦
потому что <а, Ь> = <Ь, а>. Тогда отсюда следует, что [^(П Z), 2"]пГ =
[е-^/"^(П?), ?*]"г = 0, если т/пф у, у и tnjn < 1. Поэтому условие
(IX.65) с использованием (IX.64) принимает вид
2plC^ (0) е'ф. + е^о ie^imt,nTiaa | ?)> ^ +
+ 2[e-^'/^aa(t\^^,J*]nT +
+ г-"ф.[е-**""'/"^вв(/|2|?), ?*]"r = 0. (IX.66)
Так как ?, ?*€РГ, а 0 <m/n< 1, п > 2, то три скалярных произведения,
входящие в (IX.66), равны нулю за исключением случая, когда п = 3.
