Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 50

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 102 >> Следующая

которая отражает физический смысл задачи. Например, в нелинейных задачах
о переносе тепла при заданной на границе температуре удобно было бы
определить е через суммарный тепловой поток.
Мы ищем 2я-периодические по s = w(e)/ решения в форме
u(s, e) = u(s-f-2n, е), р(е), со(е),
где
u(s, 0) = 0, ц(0) = 0, со (0) = со0
и
d и
(VI11.23)
Это решение можно найти в виде степенных рядов, используя альтернативу
Фредгольма:
(VIII.24)
Подставляя (VIII.24) в (VIII.23) и (VIII.22), находим уравнения для
определения коэффициентов правой части (VIII.24). Для того чтобы
сохранить определение (VII 1.22) амплитуды е, мы должны иметь
" u (s, е) ОО """(")"
р(е) V'' 8" - ~пГ
со (е)-со0_ п= 1 . "и -
К, z*]- l = [u", z*] = 0, п>2.
Уравнение (VIII.23) будет удовлетворено, если
J)oUi = 0,
и вообще
Л0и,-2со, ^ + 2p,fа , (0 | uj + fии (01 u( | Uj) = 0,
Л.и.-Зш^ + ЗМаи (0 I u2)-3co2 ^ +
+ (0 I Ul) + ЗрДцац (0 I Uj I Uj) 4-
+ 3Pif0nn (0 | ux) + 3f00 (0 | Uj | u2) +
+ faaa (0|ui|u1|u1) = 0,
d Ui
(VIII.25)
(VIII.26) (VIII.27)
(VI11.28)
J)nu"-na>"_, -Л + /tp"_ Ли (01 uj + R"_ 2 = 0, (V111.29)
где R"_2 зависит от членов, порядок которых меньше, чем п - 1.
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 151
Теперь нам нужно решить уравнения (VIII.25-29). Из нашего предположения о
том, что ± йо0 являются простыми собственными значениями оператора fH(0|
¦), следует, что нуль есть полупростое двойное собственное значение
оператора Л0 с двумя линейно независимыми" решениями z и z. Любой другой
вектор, обращаемый в нуль оператором Л0, скажем их, можно представить в
виде линейной комбинации независимых решений. Поскольку их - вещественный
вектор, то
ux = CZ + CZ = сё%й + се~
Теперь, так как начало отсчета s не определено, можно использовать
подстановку s~s + a, где а можно выбрать так, что се'а - с' вещественно.
Тогда, не ограничивая общности, будем иметь
Uj = c'(z + z) = z + z, (VIII.30)
где с'= 1 в силу (VIII.25)х.
Уравнения (VII 1.27-29) имеют форму
(¦DoU)(s) = g(s) = g(s + 2n). (VIII.31)
Мы хотим найти u (s) = и (s -f 2л), являющееся решением уравнения
(VIII.31). Последнее имеет решения и?р2я только тогда, когда g
удовлетворяет некоторым условиям совместности, которые обычно
формулируются как альтернатива Фредгольма.
Теорема. Уравнение (VIII.31) разрешимо для и?р2я тогда и только тогда,
когда
[g, z*] = [g, Г*] = 0. (VIII.32)
Если g-вещественная вектор-функция, то для разрешимости (VIII.31)
достаточно одного условия в комплексной форме (двух условий в
вещественной форме)
[g, z*] = [g7z*] = 0. (VIII.33)
Вторую часть ("только тогда") альтернативы Фредгольма легко доказать, так
как
[g. z*] = [J3"u, z*] = [u, J)0V] = 0.
Что касается первой части ("тогда"), то мы отсылаем читателя к известным
работам, в которых используются элементарные результаты функционального
анализа, не рассматриваемые в этой книге1).
Ч См., например, Joseph D. D., Sattinger D, Н., Bifurcating time-periodic
solutions and their stability, Arch. Rational Mech. Anal., 45, 79-108
(1972), или Sattinger D. H., Topics in Stability and Bifurcation Theory,
Lecture Notes in Mathematics 309 (Berlin -Heidelberg -New York: Springer-
Verlag, 1972), или Юдович В. И., Возникновение автоколебаний в жидкости
(ПММ 35. с. 638-655. 1971 г.).
152
ГЛАВА VIII
Можно выбрать con_i и рп_! так, что уравнения (VI 11.29) будут разрешимы.
Используя (VIII.30) и (VIII.33), находим, что (VIII.29) разрешимо, если
~шп-1 ([-§-. *•] + [•§-. z* ) + Wn-х ([W (01 z), z*] +
+ [f"n (0 I z), z*]) + [R"_2, z*] = 0.
Далее, из_соотношения <?, g*_>=1 следует, что [z, z*]=l. Более того, [z,
z*] =_[z,_z*]=[fe(i (0 | z), z*] = 0; например, [fou (01 z), z'] = *= [e-
2'*f0n (0 | g), |*]"=0 после интегрирования no s. Поэтому, используя
только что приведенные результаты и (VI 11.21), получаем одно уравнение в
комплексной форме
п{- + + z*] = 0, /t> 2
или два уравнения в вещественной форме:
п\1п-+ Re [R"_2, z*] = 0, (VIII.34)j
"{-(r)"-i + ^n-ii1n} + Im[Rn_2, z*] = 0. (VI11,34)2
Уравнение (VIII.34)x можно разрешить относительно pn_!, если In =И=0 (In
> 0 в силу предположения о строгой потере устойчивости). Затем (VIII.34)а
можно разрешить относительно con_!. Если п = 2, то
[R0, г*] = [f00 (01 ux | uj, z*] = 0,
и поэтому (Oj == JAj = 0 и
J0u2 = -faa(0|z + z|z-f-z), [u2, z"] = 0.
Если п = 3, то находим, что 3{- йо2 + psa J + 3[f00 (01z + z| u2), z*] +
+ [U"(0|z +z|z+i|z +z), z*] = 0. (VIII.35) Можно показать, используя
метод математической индукции1),
что
^n+i ~ ш2а+1 = /1 = 0, 1,2, ...,
так что р(е) и со (е) суть четные функции. Бифуркационное решение, только
что построенное, приводится к решению, найденному в гл. VII для двумерной
задачи. В самом деле, для общей задачи и для двумерной задачи формулы для
р (е) и со (е) совпадают до членов второго порядка по е.
>) См. цитированную статью Джозефа и Саттингера (1972).
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 153
§ VI 11.4. Устойчивость бифуркации Хопфа в общем случае
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed