Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 58

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 102 >> Следующая

- [и, Z*]"r=0.
174
ГЛАВА IX
§ IX. 10. Амплитуда е и биортогональное разложение бифуркационных
субгармонических решений
Теперь мы будем искать вещественные субгармонические решения (IX.3) с
амплитудой е, которые ответвляются от решения и = 0 в точках резонанса.
Амплитуду е можно определить различными эквивалентными способами,
совместными с требованием, чтобы и(/, е)/е было ограничено при е->-0.
Кроме того, из таких решений всегда можно извлечь часть решения, лежащую
в нуль-пространстве оператора Л, и другую часть:
и(/, e) = a(e)Z(/)-f- a(e)Z (/) + W (/, е), (IX.42)
где
0 = [W, Z*]nT, a(e) = [u,Z*]"r. (IX.43)
Удобно отдельно рассмотреть два случая: (1) п - 1 и п- 2, когда
существует только один собственный вектор Z = Z оператора Л, и
(2) п > 2, когда Z и Z - независимые собственные векторы.
В случае (1) определим
e = a(e) = [u(<, е), Z*]"r (IX.44)
и, как увидим,
W (i, е) = е2 w (/, е), (IX.45)
где w(^, 0) ограничен. Поэтому в случае (1) разложение (IX.42) можно
записать в форме
и(/, e) = eZ + e2w(/, е). (IX,46)
В случае (2) удобно определить е, потребовав, чтобы
a(e) = ee^'E) = [u, Z*]"r. (IX.47)
Такое определение отвечает тому обстоятельству, что главная часть всякого
бифуркационного решения принадлежит собственному пространству
линеаризованного оператора, которое соответствует нулевому собственному
значению. В случае (2) разложение (IX.42) можно записать в виде
u (t, е) = е {А (е) Z + A (e)Z) + e2w (t, е). (IX.48)
§ IX. 11. Уравнения для определения производных
от бифуркационных субгармонических решений по е при 8 = 0
Переходим к вычислению производных от и(/, е)?Рп7- и ц(е) по е при е = 0.
Если правая часть уравнения является аналитической функцией по и и р, то
эти производные равны коэффициентам раз-
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 175
ложения решения в ряды Тейлора:
Ги(г, е)"| = у в* ГМО
(IX.49)
Эти коэффициенты удовлетворяют уравнениям, которые получаются в
результате дифференцирования (IX. 1) и (IX.2) и использования упрощенных
обозначений (IX.21) или в результате подстановки (IX.49) в (IX. 1) и
(IX.2) и приравнивания в левой и правой частях получаемого уравнения
членов при одинаковых степенях е:
О = Ыр + Р\Ур-Х*ир (/ I Uj) + р {Мир, (* I ия-х) + fua (< I "l I UP-l)} +
+ P(P2~1) W"|* (t I Up-2) + hau (t I Uj I Ut I Up_2) +
+ (* I UP-2) + 2V I Ul I Up-2) + Kn V I U2 I "p-2) +
-2fp"p
(t | Ui | Ux) +
где gp зависит от членов более низкого порядка, т. е. gp(pm, иг), /<р-2,
т<.р-2. Естественно, что up(t) есть лТ-периодическая вектор-функция.
Полезно также отметить, что разложение (IX.48) можно записать в виде
где Ьр зависит от производных (fl = d'(f!dBt\e=o более низкого порядка I
< р.
Для локального исследования устойчивости субгармонических решений вблизи
е = 0 удобно разложить спектральную задачу (IX.6) по степеням в. Находим
разложение правой части уравнения (IX.4),
0 = Jtij,
0 = Ju2 + 2mfU|t (t | и,) + f" (/1 ut | Uj),
0 = J)u3 + 3nJuull (t\ ux | ux) + 3p*fw (t | ux) +
(IX. 50)
+ ЗМиц (4 u2) + 3faa (/ | Ux I u2) -f + 3p2f
UlX (<K)+* ana
(IX.51)
а для p > 3
Ф 2 (i#,
- App
(IX. 52)
up = p [Ap.JL + Ap.JL'l + pip - V) (IX.53)
где
a
A = - el4p (e) = iq>pei<fo -f- ,
P ИсР о - П ^ "
de,p s = о
176
f ЛАВА IX
зависящей от (IX.49), и заключаем, что
УУ +-§- = fa {t 1 у) + е VI У) + Кп (* 1 ui I У)} +
+ {е2 ihu VI u21 у) + (* I и, | у) + М"ц (Ч У)
+
+ К.. VI ux I Ul I у) + (t | у)} + О (s3). (IX.54)
где у € Рит-
§ IX.12. Бифуркация и устойчивость Т-периодических и 2Т-периодических
решений
Для случая (1), указанного в § IX.10, п=1 и п = 2. Условие нормировки
(IX.44) требует, чтобы
[iij, Z*]nT= 1,
[ия, Z*]"r = 0, 2.
Так как Ли, = 0, а вектор-функция, удовлетворяющая уравнению J1Z = 0 и
условию [Z,Z*]=1, определяется единственным образом, то получаем
Uj = Z. (IX.55)
Для случая (1) альтернатива Фредгольма для оператора Л утверждает, что
уравнение Ли = д?Рп7- (л=1, 2) разрешимо тогда и только тогда, когда [g,
Z] = 0. Поэтому уравнение (IX.50) разрешимо, если
2^0, (0) + [faa (/1Z IZ), г*\пТ = О, (IX.56)
где 0^(0) дается формулой (IX.38) и вещественно, так как Z и Z*-
вещественные векторы. Если условие (IX.56) выполняется, то уравнение
(IX.50) разрешимо относительно и2 и имеет единственное решение и2, такое,
что [U2> Z *]пТ-0. Аналогично, все задачи вида (IX.52) разрешимы, если
jTp.j выбираются так, чтобы
РРР-x<V (0) + [f",Z*] = 0,
где не зависит от ир и рр_х.
Если п= 1, то
S'lr
h-----------------25^0)----------------' (IX'57'
вообще говоря, отлично от нуля. Из (IX.49) следует, что вблизи е = 0
бифуркация Т-периодических решений из Т-периодических решений является
двухсторонней (транскритической), как показано на рис. IX.1. Бифуркация
Т-периодических в Т-периодические решения имеет очень важное значение в
природе. Имеется аналогия
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 177
между задачами с периодическими правыми частями и задачами бифуркации
нетривиальных стационарных решений в другие стационарные решения. В
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed