Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 47

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 102 >> Следующая

суперкритическая бифуркация .(рис. VII.2(a)) или субкритическая
бифуркация (рис. VII.2(6)). Транс-
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 141
критические периодические бифуркации, как на рис. II.3, невозможны,
потому что р(е) = р(-е).
Пример VI 1.1. (Теорема о факторизации и повторное ветвление
периодических решений.) Пусть F (р, У) и со (К) суть аналитические
функции от р и V, такие что со (0) == 1, F (р, 0) = 0, F(0, У)ф§, если V
Ф 0, Fv (р, 0) fg 0, если pfg 0. Рассмотрим следующую задачу:
0 -Г
dt L
= F(p, х2 + у2
+ со (ха + у2)
1 0
х
У J
Каждое решение (VII.47) удовлетворяет уравнению J-(*2 + p2) = 2(x2 +
c/2)F(p, х2 + у2).
. (VI 1.47)
(VII.48)
Вблизи х2 + у2 = 0 имеем F (р, х2 + р2) ^F^p, 0)(x2-f-p2), и поэтому
решение х2 -f у2 = 0 устойчиво, если р < 0, и неустойчиво, если р > 0.
Решение x2-f-p2 = e2 с постоянным радиусом ответвляется в точке (р, е) =
(0, 0). Это решение существует, если зависимость р = р(е2) определяется
из уравнения
F(р, е2) = 0, (VII.49)
и оно дается формулами
X 'X COS S
..У. Y = 8 sin s
X, s = со (е2) t.
(VI 1.50)
Малые возмущения ф = х2 + ра - е2 решения (VI 1.50) удовлетворяют
уравнению ty = 2e2Fv (р (е2), в2) ф. Решение х2 + р2 = в2 устойчиво
(неустойчиво), если Fv(р(е2), в2) < 0 (> 0). Интересно сформулировать
задачу Флоке об устойчивости бифуркационного решения (VI 1.50).
Находим, что малые возмущения ср (/) = еу'Г (s), s = (o(e2)t решения (VI
1.50) описываются задачей
-уГ + ?(е)Г = 0, Г(5) = Г(5 + 2я), (VII.51)
где
^(e) = _(o(e2)5j + -/ (е),
J (в) = 2e2Fv (р, в2) - 2в2(о' (в2)
cos2 s sms cos s sins cos s sin2s sins cos s sin2s - cos2s -sins cos s
du> (e2)
со (e2)
0 -I
1 0
со' (e2) =
de2
Легко проверить, что X^dX/ds является решением спектральной задачи (VI
1.51) с у = 0. Это решение и решение XK = dX/ds независимы.
142
ГЛАВА VII
Задача
-yT* + f*T* = 0, r*(s) = r*(s + 2n),
(VI 1.52)
где
/*(e) = 2e2FK(p, е2) - 2в2ш' (е2)
^*(е) = со (z2)-^ + J* (е),
cos2s sins cos s sins cos s sin2s sin s cos s - cos2s sin2s -sins cos s
0 Г
+ со(е2) -1 0
является сопряженной по отношению к задаче (VII.51).
Поскольку уравнение (VII.47) удовлетворяет всем условиям бифуркации
Хопфа, то применима теорема о факторизации. Факторизацию можно
представить следующим образом:
(VII.53) (VII. 54)
(VII.55)
г," г,. 'х У. + Те. + 2врЁ <7i .4*.
у (е2) = 2e2Fу (р (е2), е2) = - epsFn (р, е2). Подставляя (VII.53) и
(VII.54) в (VII.51), находим, что - (уХ8 + Fn (fi, е2)Х) + 2е{ - yq + f
(e)q} = 0.
Уравнение (VII.55) можно упростить, положив Х = еХе.
Теперь мы отметим, что если гфО мало, то у(е2) является простым
собственным значением задачи (VII.51). (Это следует из локального анализа
бифуркации Хопфа.) Из теории Фредгольма следует, что уравнение (VII.55)
имеет единственное решение, принадлежащее пространству, дополнительному к
нулевому пространству оператора -Y + ^(e), тогда и только тогда, когда
2 Я
(у + (р, е2)) J (rjcoss + risin s) ds = 0. (VII.56)
Более того, нетрудно проверить, что
Гг;
г*
1 2 J
= Ct
cos s sins
(VII.57)
если выполняются условия (VII.54). Поэтому
Т = -efn(p(e2), е2)
и все решения задачи (VII.55) с у = 2e2FV (р, е2) пропорциональны Г
и qt
= 0.
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 143
Возвращаясь теперь к задаче (VI 1.53) с у -- p,eeFn(p, е2) - 2ц' (е2)
e2Fn (ц, е2), имеем
Ггх1 - со' (е2) X ix
L-rJ еКш'24-ц'2^ [yj Vu>'2 + y,,2Fl [7eJ
- со' (е2) Усо'2 + ц'2^
- sins COS s
+
1Ло'2 + ц'2^
COS s sins
(VI 1.58)
где = (e2)Fn(p(e2), e2).
Интересно дать анализ устойчивости решения (VII.50) с другой точки
зрения, используя матрицу монодромии, ее собственные значения и множители
Флоке. Малое возмущение ф решения X удовлетворяет уравнению
- ф-f-/(е)ф = 0. (VII.59)
Существуют только два независимых решения ф(1) и ф<2) уравнения (VII.59).
Выберем ф(1) и ф(2) так, чтобы фундаментальное матричное решение
°<2>(0 n(-2) (t).
ф(, ГфМ ф?> ( ) W?(t) Фг2)
удовлетворяло начальному условию Ф(0) = 1, где I-единичная матрица. Имеем
- sins COS s
+
coss
sins
е^', s = cot,
где у удовлетворяет уравнению (VI1.54) и
Ф(2>(0
- sin s coss
¦¦(at.
Множители Флоке К являются собственными значениями матрицы монодромии
Ф(2я/со), т. е. матрицы
'*"¦(?) *(?)'
g2 ЛУ/<Л 0)'
0
^_(l_eanv/a) 1
Отсюда следует, что А,= 1 и Х = е'2пу/а являются алгебраически простыми
собственными значениями матрицы монодромии, если е*^аФ 1, и представляют
собой алгебраически двойное собственное значение, если Y = 2eaF1/="0.
Если у = 0, то по-прежнему существуют два
144
ГЛАВА VII
фундаментальных решения уравнения (VII.59): ф(2) и
<p(l) (^) = 2е2со' (е2) t
¦ sin s coss
+
COS s sin s
Из них только ф(а) является 2я-периодическим вектором. Поскольку Ф(2) =
Х/е, то ^(Х) = 0, если у = 0, и (ХгДое) = X. Поэтому если у = 0, то мы
имеем двухзвенную цепь Жордана в рамках теоремы, которая будет
сформулирована и доказана в конце § VIII.4.
Этот пример обнаруживает следующие свойства.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed