Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
отношению к некоторой группе преобразований и приводит к волноподобным
решениям. В задачах, инвариантных относительно поворотов вокруг оси,
бифуркационное решение зависит от 0 и / только в комбинации 0-сof. В
задачах, инвариантных относительно переносов вдоль оси х на периоды 2л/а,
решение зависит 01 х и t через ах-tof, где С = ш/а-волновая скорость (см.
§ XI.19).
Глава IX
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ
Г-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
В этой главе и в гл. X мы рассмотрим бифуркацию нетривиальных Г-
периодических решений. Относительно происхождения и структуры таких задач
читателю было бы полезно прочитать вновь объяснения, приведенные в § 1.2
и § 1.3. Следуя нашей обычной процедуре, мы будем строить эту теорию в
IR", н^2, и покажем, как анализ приводится к IR1 или IR2 на основе
использования проекций, связанных с альтернативой Фредгольма. В
определенном смысле задача в R" с конечным п на самом деле является
бесконечномерной. В отличие от стационарных задач, в которых встречаются
только постоянные векторы, здесь мы должны иметь дело с векторными
функциями, которые периодически зависят от времени и потому принимают
бесконечное множество различных значений. Поэтому в этой главе
вычислительные упрощения, связанные с рассмотрением преимущественно R2, а
не R", не очень большие. В R" мы используем те же самые обозначения,
которые можно было использовать для эволюционного уравнения в
пространстве Банаха. Поэтому наши результаты одинаково имеют место и в
R", и, например, для эволюционных задач, описываемых дифференциальными
уравнениями с частными производными, аналогичными уравнениям Навье-Стокса
или уравнениям, описывающим реакцию или диффузию в химических системах,
если эти дифференциальные уравнения с частными производными можно
представить в форме эволюционных задач в банаховом пространстве.
Обозначения
РпГ= {u:u (^) = и(/ + пТ), нГ-периодические непрерывные функции}; J (р) -
линейный оператор, определенный в § IX.2 как
+ (А. ОИ
и действующий в Рг, областью определения которого является множество
непрерывно дифференцируемых Г-периодических функций. Поэтому оператор J
(р) является Г-периодическим. Аналогично,
def
оператор J0 - J(0) Г-периодический. Оператор I-линейный опера-
164
ГЛАВА IX
тор, определенный в § IX.8, который имеет Г-периодические коэффициенты и
действует в РлГ (расширенное пространство). Далее,
а (и) = I (I1) + "Л (r)
- экспонента Флоке при исследовании устойчивости решения и=0,
у (е) = I (е) -f tii (е)
- экспонента Флоке при анализе устойчивости субгармонического решения
u(i, е) ф 0. (Замечание. Мы используем одни и те же обозначения g и г)
для разных функций.) Как и прежде,
def
о. ом
- линейный оператор (в R") (см. § 1.6, § I. 7);
def
f"(*H-) = fB"(*. 0. °I-N
- билинейный симметричный оператор: fBB (i | ux | u2) = fBa (t | u21 иг);
def
hunitV\-\-) = hua(t, 0, 0I-M-)
- трилинейный симметричный оператор:
fBBB (/1 Uj | u, | us) = fBBB (t | ux | u31 u,) = fBBB (t | u21 Uj | u3).
Мультилинейные операторы появляются в результате повторного
дифференцирования f(i, p., и) по и в точке р = 0, и==0. В приведенных
операторах предполагается, что производные вычисляются в точке (р, и) =
(0, 0).
Содержание этой главы основано на результатах, полученных в работе Ж-
Йосса и Д. Джозефа Bifurcation and stability of пТ-periodic solutions
branching from Г-periodic solutions at points of resonance, Arch.
Rational Mech. Anal., 66, 135-172 (1977).
§ IX. 1. Постановка задачи о субгармонической бифуркации
Нас интересуют нТ-периодические решения, где -положи-
тельное целое число, ответвляющиеся от нетривиального Т-перио-дического
решения U (I) С Если задача "приведена к локальной форме", как в § 1.3,
то речь идет об исследовании бифуркации решения и = 0 эволюционной задачи
ft=W, Ц, u), (IX.1)
где функция f(f, •, .) = i(i-f Г, -, •) имеет период Г нетривиального
решения, от которого она зависит. Наше исследование бифуркации
предполагает, что некоторая мера амплитуды решения и мала
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 165
и f допускает разложение в окрестности и- 0 вида
f(/, р, и) = !"(*, р, 01и) + уfаа(С р, 01и|и) +
+ ^faaa(<. I*. 0|u|u|u) + 0([|u[|4). (IX.2)t-
Мы будем предполагать, что f-аналитическая функция от р и и в некоторой
окрестности точки (0, 0). Правую часть уравнения (IX.2) можно также
разложить по степеням р и отбросить члены высокого порядка, которые не
влияют на локальный анализ устойчивости и бифуркации:
f (t, р, u) = fa(* |u) + pfu^|p) +yp2fU(ili(/|u)-|-
^-4{faa(^ luN+pW (*l"l")} + jjf""a (# I a | u | u) -b
+ 0 (| p H| u|H-pe I u ||2 + | p 11| up +|| u f). (IX.2),
Здесь, как и выше, предполагается, что производные от f
вычисля-
ются в точке (р, и) = (0, 0) (см. (IX.21)).
Пусть субгармоническое решение с амплитудой е u(i, e) = u(t + nT, е),
u(i, 0) = 0,
р = р(е), р (0) = 0 (IX.3)
ответвляется от решения и = 0, когда р, возрастая, проходит через нуль.
Для исследования устойчивости решения (IX.3) по отношению к малым
