Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
возмущениям v линеаризуем уравнение (IX. 1) и найдем, что
^r = fu(t, р(е), u(t, e)|v) =
= fa(*, p(e), 0|v) + taa(/, p(e), 0|u(/, e)|v) +
+ yfaaa(*. M-(e). 01 u(/, e)|u(f, e)|v) +
+ R (t, p(e), u(t, e) | v). (IX.4)
Линейный оператор R не окажет влияния на локальный анализ,
потому что он является кубическим относительно и, и, следовательно, имеет
третий порядок малости относительно е.
Для исследования (IX.4) используем метод Флоке (см. § VII.6.2). Нам
понадобятся дополнительные сведения из теории устойчивости. Однако для
целей настоящего исследования достаточно сделать несколько
предварительных замечаний. Для получения спектральной задачи положим
v(t, e) = ev(?My (/, е), (IX.5)
где у(/, е)6РлГ и
Y(e)y + ^ = fa(*, R(e), u(*. e)|y). (IX*6)
166
ГЛАВА IX
В общем случае у(е)-комплексное число:
y(e) = ?(e) + iri(e). (IX.7)
При исследовании устойчивости решения и = 0 в качестве параметра
предпочтительно использовать р, а нее. Положив \ = е°%, получаем
спектральную задачу
a(pK+§ = U'> P. 0|g), (IX.8)
где
о (И-) = ?00 + Щ ОО- (IX.9)
Предостерегаем читателя о возможной путанице, которая была бы результатом
использования одних и тех же обозначений для вещественных и мнимых частей
а и у. В действительности нам не понадобятся собственные значения у (е)
до § IX.13.
§ IX.2. Спектральные задачи и собственные значения <т (jm)
Для анализа устойчивости решения и = 0 рассмотрим линеаризованную
эволюционную задачу
% = Iх- 0|v) = fe(/ + 7\ fx, 01v) (IX. 10),
с начальным условием
v (0) = vo. (IX,10)*
Решения уравнения (IX. 10) можно выразить через специальное матричное
решение Ф (t, р) с начальным условием Ф(0, р) = 1, где I-единичная
матрица, следующим образом:
v{t, р) = Ф(С p)v0. (IX.11)
Собственными значениями матрицы монодромии Ф(7', р) служат множители
Флоке
Цр) = е<яюг, (IX. 12)
где комплексные числа а (р) = | (р) -f щ (р) суть экспоненты Флоке. Эти
экспоненты являются собственными значениями задачи (IX.8). Назовем о(р)
собственным значением оператора
J{p)=_A + fB(*, (Х> оI-);
тогда задачу (IX.8) можно записать в форме
org = У (р) g, S6Pr. (IX. 13)
Отметим, что если а есть собственное значение оператора J (р), то a -f
(2nki/T) также является его собственным значением для любого
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
к из Z (ассоциированным собственным вектором служит ?(0 = = g (t) exp (-
2Ш/Т)).
Теперь сопряженную задачу на собственные значения
og* = ./*(pj?", ?"6Pr> (IX. 14)
где
= р|-),
определим следующим образом. Линейный оператор Vu(t, piJ-) является
сопряженным по отношению к оператору f"(/, р, 01 -); это означает, что
<а, Vu(t, p|b)> = <fa(i, р, 01 a), b>. (IX.15)
В R" оператором fa (t, р, 01 -) служит матрица A (t, р), а операто-
ром f* (/, р|-)-матрица Аг(*, р)1). Второе скалярное произведение,
удобное для пТ-периодических функций, определим равенством
def , В"Г
[a, b]"r = ^j <а, b>dt, (IX.16)
о
где <а, Ь> = <Ь, а>. Линейный оператор 7*(р) определим соотношением
[a, J (р) Ь]Г = [У* (р) a, b]r. (IX.17)
Проверим, что
[?, ^"]г = а[?, ё*]г = [У (p)g, ?']r = [g. (^)g*]r-
§ IX.3, Биортогональность
Как показано в гл. VI, собственные векторы, отвечающие различным
собственным значениям, биортогональны:
е;]г=о.
если IФ Мы также имеем f*Jr = 0 даже когда ? = /, если только г](р) =5^=
0. Если 11 = 0, too, g и ?* являются вещественными. Для каждого
полупростого собственного значения можно выбрать биортогональное
множество собственных векторов так, чтобы
[5/. g/]r = V (IX. 18)
1) *и ((> И, 0|.) есть производная от t (I, ц, и) при и=0, но мы не
предполагаем, что существует f* (?, р, и) с производной f^. Мы определяем
fu уравнением (IX.15).
168
ГЛАВА IX
§ IX.4. Критическая точка
Пусть потеря устойчивости решения и = 0 является строгой, когда р при
возрастании от отрицательных к положительным значениям проходит через
нуль. Тогда при р = 0 вещественная часть |(0) собственного значения о(0)
обращается в нуль и
def
а (0) = it] (0) = i'o)0
является собственным значением операторов У(р) и У*(р)прир = 0; это
означает, что
ICO Og==yog, -ico0?* = ¦/*"?•, (IX. 19)
def def
где J0 = J(0), a J*o = J*(0). Строгая потеря устойчивости в критической
точке означает, что
def
Six (0) = g' (0) > 0. (IX.20)
Критическая точка имеет очень большое значение. В возмущенном решении
бифуркационной задачи все характеристики вычисляются в критической точке.
Для упрощения наших обозначений для производных от f в критической точке
будем писать
def
UC о, o|.)=f0(*N,
def
f"(f. 0. 0H-) = fB"(fM-), (IX.21)
def
fl{t, 01 ¦) = f" (? | •)
и так далее.
§ IX.5. Альтернатива Фредгольма для J (ц) - о(р) и формула, выражающая
строгое пересечение (IX.20)
Пусть о(ц)-полупростое собственное значение оператора У(ц) кратности I, a
g*(i=l, 2, ..., I)-какое-нибудь множество независимых сопряженных
собственных векторов. Тогда уравнение
(У(ц)-а(ц))а=Ь(0 = Ь(^ + Г) (IX.22)
может иметь решения а в Рг (a (t) = a (t + Т)) тогда и только тогда,
