Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
множество на интервале (IX.26). Множество точек, для которых со0 и 2п/Т
рационально независимы, называются иррациональными точками в критическом
случае.
Рациональные точки отношения частот в критическом случае обязательно
имеют вид
= п^0' (1Х'28)
где т и п-целые числа, а т/п-дробь. Субгармоническое решение представляет
собой пТ-периодическое решение с я^1. Решение (IX.27) будет
субгармоническим, если со0-рациональная точка. Всякое яГ-периодическое
решение (IX.27) удовлетворяет соотношению
eiwa " + пГ)? ц пт) = (t).
Поэтому еш°пТ = 1 и ы0пТ = 2лт, где со0 удовлетворяет неравенству
(IX.26). Поскольку
Я"= (еШоГ)Пг=(е2Я1т/П)П= J
то Я,0 и к0 суть корни из единицы, если со0-рациональная точка. Имеются
две рациональные точки, для которых Х0 = Кд-вещественное число: т/п =
0/1, Х"= 1 и т/п- 1/2, А,0 =-1. Если т/п = 0/1, то субгармоническое
решение (IX.27) является Т-периодическим. Если т/п =1/2, то
субгармоническое решение (IX.27) будет 2Г-периоди-ческим.
§ IX.8. Оператор Л и его собственные векторы
Определим оператор
л = -57 + f"(*l'). <1Х-29)
область определения которого состоит из дифференцируемых пТ-периодических
векторов.
Естественно, что множество Т-периодических векторов меньше, чем множество
нТ-периодических векторов, dom /0 с dom Л. Спектр оператора соответствует
спектру матрицы монодромии Ф(пГ, 0), и поскольку Ф(пТ, 0) = {Ф(Т, 0)}п,
то 1 является единственным собственным значением Ф(яТ, 0), лежащим на
единичной окружности. Если я = 1 (т/п -0, где тип определены в (IX.28)) и
если я=2 (т/п =1/2), то это собственное значение является простым. Если
я^З, то это-двойное собственное значение. Собственное значение Ф(яТ, 0),
равное единице, соответствует нулевому собственному значению оператора Л.
И яТ-периодический вектор
Z(/) = exp(^)6(f),
(IX. 30)
172
ГЛАВА IX
и ему сопряженный вектор Z принадлежат нуль-пространству оператора Л:
Лг= Лг = 0. (IX.31)
Если п - 2 (m/я = 1/2), то существует только один собственный вектор и
его можно выбрать вещественным.
Полезно сформулировать лемму о нулевом собственном значении оператора Л.
Напомним, что оператор Л определен для критической точки.
Лемма. Предположим, что условия (I) и (II), относящиеся к собственным
значениям оператора J0 (или, что эквивалентно, к собственным значениям Х0
матрицы монодромии Ф (Т, 0)), выполнены. Тогда если
п= 1, (IX.32)
то нуль есть простое собственное значение оператора Л с одним
вещественным собственным вектором Z = ? = Z = ?; если
п = 2, (IX.33)
то нуль-простое собственное значение оператора Л с одним вещественным
собственным вектором Z = еш/2Т? (/) = Z; если
п> 2, (IX.34)
то нуль-двойное собственное значение оператора Л и любое решение v
уравнения J)v=0 можно представить в виде линейной комбинации двух
независимых векторов (Z, Z), принадлежащих нуль-пространству оператора Л.
§ IX. 9. Сопряженный оператор Л*, биортогональность, строгое пересечение
и альтернатива Фредгольма для Л
Сопряженный оператор в VnT можно определить следующим образом. Пусть а и
b-любые два гладких вектора, принадлежащих Рл7-. Тогда Л* представляет
собой единственный линейный оператор, удовлетворяющий уравнению
[Ла, Ь]"г = [а, Л*Ь)"Г, где скалярное произведение [•, определено
формулой (IX. 16) и
& = it\-). (IX.35)
Естественно, что если нуль-собственное значение оператора Л, то он также
является и собственным значением оператора Л*, таким, что
Л*г* = 0, Z"(0 = exp(^)g*(/). (IX.36)
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 173
Если п - 1 или п - 2, то существует только один сопряженный собственный
вектор Z*; если п > 2, то Z* и Z* являются независимыми собственными
векторами оператора Л*.
Соотношения биортогональности
[Z. Z*]"r= 1, [Z, Z*]nT = О (IX.37)
получаются из непосредственного вычисления с использованием (IX. 18).
Кроме того, соотношение
[WtflS), ?*]r = [U(<|Z),z*]"r
является тождеством. Поэтому, используя (IX.30), можно записать (IX.25) в
виде
M0) = [W(*|Z),Z*;U (IX.38)
[fuu (/1Z), Z*]"r = [e- ^nTfuti (t IS), = 0,
если Я 2=: 3.
Теорема (альтернатива Фредгольма для Л). Предположим, что выполнены
условия (I) и (II) § IX.6 о простоте собственного значения i(o0 оператора
J0, и рассмотрим уравнение
Ju = g€P"r- (IX.39)
Тогда решение и?1Рп7-, единственным образом представимое в виде линейной
комбинации собственных векторов Z и Z оператора Л, существует тогда и
только тогда, когда
[8. Z*]"r = [g, Z*]nT = 0. (IX.40)
Вообще говоря, соотношений ортогональности (IX.40) существует столько,
сколько имеется сопряженных собственных векторов; в настоящем случае, как
следствие условий (I) и (II), имеем только два соотношения (IX.40), если
я > 2, и только одно (Z* = Z*), если я = 1 или я = 2.
Если g-вещественный вектор, то для разрешимости достаточно одного условия
ортогональности
[g. Z*]"r=[g,Z*]nr = 0. (IX.41)
Полезно отметить, что мы получаем единственное решение, если
требуем, чтобы и было ортогонально векторам, принадлежащим
нуль-пространству оператора Л*; это означает, что [u, Z*]nT-
