Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
когда заданный вектор b (t) удовлетворяет соотношениям ортогональности
[Ь, g?]r = 0. (IX.23)
Предположим теперь, что ico0 есть алгебраически простое собственное
значение оператора У0. Для вывода формулы, выражающей (IX.20),
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 169
продифференцируем (IX. 13) по р при р = 0 и найдем, что
Оц (0) g-fU|1 (t I g) + (to0-J0) Б" = 0, (IX.24)
где 7M,(0) = f"n(/|-) в обозначениях (IX.21), и g" Используя
(IX.23)- для (IX.24), находим, что
M0) = M0) + nv(0) = [W(*|S). Б*] г- (1Х-25)
§ IX.6. Предположения о спектре
Необходимо особо отметить, что здесь и далее а (р) представляет собой
собственное значение оператора J (р) с наибольшей вещественной частью.
Тогда в критической точке не существует собственных значений оператора J0
с положительными вещественными частями. Если г] (р) =т^= 0, то всегда
существуют по крайней мере два семейства собственных значений о (р) +
(2nki/T) и а(р)-(2лki/T), где k - любое число из Z, имеющих наибольшие
вещественные части, и если to0 есть собственное значение оператора /0, то
таковым является и - ?СО0.
Теперь мы сформулируем основные предположения о спектре при исследовании
Т-периодических решений. В сущности они представляют собой те же самые
предположения, которые были введены при анализе бифуркации в двойной
точке и бифуркации Хопфа. Эти предположения выражаются характером
собственных значений в критической точке. Поскольку мы рассматриваем
только такие задачи, в которых величины изменяются непрерывно по
отношению к ц, а собственные значения предполагаются изолированными, то
утверждения, имеющие место для собственных значений при ц = 0, остаются
справедливыми также в малой (возможно большой) окрестности р = 0. Сначала
сформулируем предположения о спектре оператора У0:
(I) ко0-изолированное, алгебраически простое собственное значение
оператора У0.
(II) ± i (со0 -)-(2л k/T)), k?Z суть только те собственные значения
оператора J0, которые лежат на мнимой оси a-плоскости. (Если g есть Г-
периодический собственный вектор оператора У0, to0g = ./0g, то e~2nikt/T^
(t) = g (t) = g ((+ T) является также T-периодическим собственным
вектором У0, yog = i (ю0 + (2nk/T)) g.) Все другие собственные значения
оператора У0 лежат в левой части а-плэскости.
(III) Выполняется условие (IX.20).
Три только что указанные предположения можно также сформулировать и по
отношению к собственным значениям А,0 (множителям) оператора монодромии Ф
(Т, 0).
(I) -изолированное, алгебраически простое собственное зна-
чение Ф(Т, 0).
170
ГЛАВА IX
(II) и суть только те собственные значения Ф (Т, 0), которые лежат на
единичной окружности на ^.-плоскости. Все другие собственные значения
Ф(Т, 0) лежат внутри единичного круга.
(III) Выполняется условие (IX.20), так что |X (^ > 0.
Для того чтобы сделать = еи°°т однозначной функцией со0, можно, не теряя
общности, потребовать, чтобы
0 ^ со0 < -•. (IX.26)
§ IX.7. Рациональные и иррациональные значения отношения частот в
критической точке
Почти-периодические функции являются обобщением периодических функций,
сохраняющим свойство полноты рядов Фурье. Почти-периодическая функция на
прямой - оо < х < оо может извиваться более или менее произвольно, но
таким образом, что всякое значение этой функции весьма точно повторяется
по крайней мере один раз на каждом достаточно большом, но конечном
интервале.
(Комплексная) непрерывная функция / (/) (- оо < t < оо) называется почти-
периодической, если для любого е > 0 существует / = /(е)>0 такое, что
всякий вещественный интервал длины / (е) содержит, по крайней мере, одно
число т, для которого |/(/+т) - - /(01<е. Всякое такое т называется
числом переноса. Если е=0, то f(t) является периодической функцией, а т -
периодом.
Квазипериодической функцией от п переменных называется функция g((o1t,
toJ, .. ., mnt) = f(t), содержащая конечное число п рациональных
независимых частот оох, со2, . . ., со", которая является периодической с
периодом 2л по каждой из ее переменных. Все квази-периодические функции
являются почти-периодическими; в наиболее общем случае п равно оо.
Например, функция g((oJ, co2/)=cos t cosnt = -f (t) есть
квазипериодическая функция с двумя частотами со^гл, со2 = 2. Значение
f(t) - 1 достигается, если ( = 0 и никогда не повторяется; несмотря на то
что g(0<l> если 0, всегда существует /(е)>0 такое, что |/(/)-/(0) | < в
для заданного е > 0.
Решение v (t) = Z (t)
Z (0 = еш°% (i) = g(<o0t,-^t) (IX.27)
линеаризованного уравнения (IX. 10) в критической точке (dZ/dt= =
fB(*|Z)) является квазипериодическим, если сои77(2л)-иррациональное
число. Если ш077(2л) - рациональное число, то со0 и 2л/Т рационально
зависимы и решение является периодическим с периодом, кратным Т.
Множество точек со0 на интервале (IX.26), для которых со0 и 2л/Т
рационально зависимы, называются рациональными точками в критическом
случае. Эти точки образуют плотное
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 171
