Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, если п> 3, то Pj = 0.
Если р, = 0, то ф0 не определяется уравнением (IX.66). В этих случаях
можно определить р2 и ср0 из условия разрешимости уравнения (IX.51):
Зр2а" (0) е'Фо +3 [fBB (t | Uj | u2), Z*]"r + [\uua (t | щ | u, | ut),
Z*]"r = 0,
(IX. 67)
где u2 определяется из уравнения (IX.50).
§ IX.14. Бифуркация и устойчивость ЗГ-периодических решений
Если п = 3, то m может быть 1 или 2 (так как m/3 < 1) и условие (IX.66)
приводится к виду
_
2 '
2M-ian(0) е,ф"+Л1е-21(Ро = 0, р, = у
%
>0, (IX.63)
где
Ai = [e-znCmt,Tfaa{t]l\Qt ?"]зг.
Если условие (IX.68) выполняется, то уравнение (IX.50) можно разрешить
относительно w0 ? Рзг> гДе с учетом разложения (IX.48)
и2 (/) = 2i<p1ei(P"Z-2i\p1e_'<P°Z +2w0 (/). (IX.69)
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 181
Альтернатива Фредгольма без учета нормировки служит для определения части
решения и2, которая ортогональна Z*, Z*, (т. е. 2w0, Jua = 2J)w0) и
оставляет неопределенным второй член фх в разложении ф(е) = ф0-(-еф1-1-
О(е2). Для определения ф1 применим альтернативу Фредгольма к уравнению
(IX.51) и найдем, что
где Ui, w0) известно. Так как е^сгц(0) никогда не обращается
в нуль, то это комплексное уравнение всегда можно разрешить относительно
р2 и ф2. В точности такой же вид, что и (IX.69), имеют уравнения для
членов более высокого порядка, и они служат для последовательного
определения значений ри и ф"_х.
Если бы мы попытались для решения этой задачи использовать теорему о
неявных функциях, то для определения ц(е) и ф (е) пришли бы к уравнению
вида (IX.70). Другими словами, мы получаем одну и ту же информацию из
условия Фредгольма разрешимости в более высоком порядке и из теоремы о
неявных функциях для системы двух уравнений с двумя неизвестными
функциями р и ф от одной переменной е (см. дополнение V. 1). Поэтому
построенное нами решение в виде рядов является единственным. Других
ответвляющихся малых решений не существует.
Суммируем теперь полученные нами результаты и укажем некоторые новые
формы уравнений.
Теорема. Предположим, что выполнены условия (I), (II) и (III) § IX.6 и Aj
Ф0. Тогда если р близко к нулю, то существует единственное нетривиальное
ЗТ-периодическое бифуркационное решение уравнения (IX. 1). Эта бифуркация
является двусторонней и в младших членах определяется уравнением
u (t, е) = еехр;(ф(е) + (?^))?(0 +
+ еехр (-t(9( ) + (^)))g(0 + O(e2), т=1, 2, (IX.71)
3Pi[fB|1(*|u,), Z*]3r -3 [faI1 (С u1|u2), Z*],r + 3p,[U(nu1). Z*]3r -f-
+ члены, не зависящие от р, и и2 =
= Зрх (2гф^йр") од (0)-3 (21'ф^- 21'<Р") Ах +
+ Зр^оОд (0) + члены, не зависящие от рх и ф, = 0.
Комбинируя последнее соотношение с (IX.68), получаем
е!<Р°од (0) {р2 + б1ф1} = Я(р1, Uj, w0), (IX.70)
р(е) = ер, + 0(е2), р, = ,
182
ГЛАВА IX
где и, ф, р аналитические1) по г в окрестности нуля, ft = 0, 1, 2
соответствуют переносу начала отсчета t на О, Т, 2Т, если т=1, и 0, 2Т,
Т, если т = 2, а Л5 определяется по формуле (IX.68).
Выражение (IX.71)3 является решением уравнения (IX.68). Наши построение и
разложение (IX.48) показывают, что и(/, е) зависит от t через две
временные переменные т (t) и t:
41 - Т-периодическая функция по своему второму аргументу. Эта Т-
периодичность происходит от Г-периодичности $(t). Первый аргумент Ч1{-,
•) представлен в виде
На основе этого свойства можно доказать 2) последнее утверждение теоремы.
Обращаемся теперь к исследованию устойчивости ЗТ-периодиче-ских решений и
разложим у (е) и у (•, е) € Р8Г в виде
где у^Рзг- Из условий (I) и (II), налагаемых на нулевое собственное
значение оператора J, следует, что
где Л и В подлежат определению. Вспоминая, что ul = a0Z + a0Z, где а0 =
е1ч>'>, уравнение (IX.72) можно записать в виде
*) Если f аналитическая по (р., и).
2) См. строгое доказательство в статье Ж. Йосса и Д. Джозефа Arch.
Rational Mech. Anal., 66, 135-172 (1977).
u (/, e) = 4l(x(t), t) = 4l(x(t), t + T).
и
у (e) = y1e + o (e)
и
у (t, e) = ya(t) + ey1(t) + o(e). Подставляя эти разложения в (IX.54),
находим, что
Лу0 = 0, УобРзг
и
УгУо = ЛУх + М"и (* I Уо) + Ка (* I "х I Уо)>
(IX. 72)
Уо - AZ + В Z
Tl (AZ + BZ) = jy,+p1 {Ah" (t\Z) + Bfull (t \Z)} +
+ а0Л f"a (/1 Z | Z) + a0Bfaa (t\Z\Z) +
+ a0Aiaa (tl Z | Z) + aBBf" (t | Z | Z). (IX.73)
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 183
Для решения уравнения (IX.73) необходимо выбрать неоднородные члены так,
чтобы они были ортогональны Z* и Z*. Здесь необходимы обе проекции,
потому что неоднородные члены являются комплексными. Записав (IX.73) в
виде Лу, = g, находим, используя (IX.68), что два уравнения [g, Z*]3r =
[g, Z*]3r = 0 можно представить в виде
YjА - р^сГц (0) А -(- a0BAj
и
у^В = a0AA, + (0) В.
Отсюда следует, что у)11 и у(,2) являются собственными значениями матрицы
Уф° А, ИчМО)] ' где
V?' + Ti2) =tr ой = 2рх Re a," (0) = 2*1^ (0) > 0, (IX.74)
потому что pt > 0 и |ц (0) > 0, а
у№у<2> = det = р21 ад (0) |2-1 Ах |*. (I X.75)
Из (IX.67) следует, что | А, |2 = 4р21 сг^ |2, и поэтому
