Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Нас интересует решение V (t) автономной задачи V = f (р, V). Положим V =
u(s, e)-f-v(^), s = co(e) t, p = p(e), где v (t)-малое возмущение решения
u. Используя тождество сои = f (p(e), u), находим после линеаризации, что
v = f(p, u + v)-f(p, u) ~fa(p(e), u (s, e) | v). (VIII.36)
Уравнение (VIII.36) можно исследовать, используя метод Флоке (см. § VI
1.6):
v (0 = <П(5), s = со (е) /,
где
S(s) = S(s + 2jc), ?€Рая>
YS+m(e)-§- = f0He), и | ?).
Полезно ввести оператор
J)(e)(.) = -co(e)^l4-f0(fi(e),u(s, е)|-).
Тогда
у? = Л?. (VI II.37)
Дифференцируя co(e)u(s, e) = f(p(e), u(s, е)) сначала по s, получаем
J(e) ii==0, (VIII.38)
а затем, дифференцируя по в, находим
coeti = pef11(p(e), u(s, е)) + Лие. (VIII.39)
Конечно, мы предполагаем, что ряды (VIII.24) сходятся на интервале Л (е),
окружающем е = 0. Теперь, комбинируя (VIII.37-39), доказываем следующий
результат.
Теорема о факторизации (общий случай). Имеют место следующие
представления:
V = Ре (S) V
?(s, е) = с(е)|-^ ii(s, e) + u8(s, e) + epEq(s, e)|, (VI11.40)
• т = соЕ (e) + pe (e) t (e),
где с (г)-нормализующий множитель, а т(е), у и q(-, е)?Р2я удовлетворяют
уравнению
ти4-уие-Ио(Р(е), и(•, e)) + e{yq - J)q} = 0
и являются гладкими функциями на интервале /г s /1( содержащем точку е =
0. Более того, т(е) и у(е)/е суть четные функции и та-
154
ГЛАВА VIII
кие, что
Ye(0) = -U0), ^(0) = - т]д (0). (VIII.41)
Интерпретация результатов исследования устойчивости для общего случая в
точности совпадает с интерпретацией, данной в § VI 1.9 для строго
двумерной задачи. В частности, она показывает, что у (г) меняет знак в
каждой точке, в которой у(е)=^0 и (яе (е) меняет знак. (В R1 такие точки
были названы регулярными экстремальными точками; см. § II.8.) Пусть такой
точке соответствует значение е = е0; предположим, что с(е) выбрана так,
что с(е)~рЕ(е) при е-^е". Тогда
g(s, е) ~?si?iii(s, e) + pgue(s, е) + ер* (е) q (s, e). (VIII.42) Y(e)
Если ае(г0)фО, то g(s, e0) = coe (e0) u (s, е0)/у(е0)-собственная функция
оператора Л(е0). Имеет место следующая теорема1).
Теорема. Предположим, что при еоф0 имеем у(ео) = 0 и у (е0) Ф 0; тогда
нулевое собственное значение оператора Л (е0) имеет алгебраическую
кратность, по крайней мере равную 2; u(s, е0) - собственный вектор
оператора Л (е0),
Л(е0)й(-, е0) = 0, (VI 11.43)
и если сое (е") Ф 0, то ue(s, е0) является обобщенным собственным
вектором оператора Л (е0):
[Л(е0)и8(., e0)](s) = cog(e0)ii(s, е0). (VIII.44)
Если сое(е0) - 0, то геометрическая кратность нуля равна по крайней мере
двум и и и ие являются собственными векторами оператора Л(е0).
Доказательство этой теоремы следует из тождества Л(е)иЕ = со?и-Мц(Ие),
и);
напоминаем, что здесь ре (е0) = 0.
Некоторые результаты относительно бифуркации и устойчивости периодических
решений, приведенные в примере VII. 1, можно рассматривать как приложения
сформулированной выше теоремы.
Пример VIII.1. (Периодические решения дифференциальных уравнений с
частными производными.) Рассмотрим следующую систему
х) См. Джозеф Д. Д. и Нилд Д. A. "Stability of bifurcating time-periodic
and steady solutions of arbitrary amplitude".- Arch. Rational. Mech.
Anal., 49, 321 (1973). См. также Д. Д. Джозеф "Factorization theorems,
stability and repeated bifurcation".- Arch. Rational. Mech. Anal., 99 -
118 (1977).
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
155
дифференциальных уравнений с частными производными: dU1_d*U1 , , . ,
.... .. . .. , 1
~дГ ~~ ~дх^ + (л2 + ^)(^1- ^а)- +
d-W=dS' + in2+ll)(u1 + U*)-u*\ui + U:+^
дил2 , fdUt\2
дх J V дх
(VII 1.45)!
^iV-c (dJh
дх J V дх
где Ui, 1=1, 2, суть вещественные функции, определенные для /^0, O^x^l, и
удовлетворяющие граничным условиям
Ut(t, 0) = Ut(t, 1)==0, i = 1, 2. (VIII.45),
В этом примере (как и в примере VI.2) возьмем Я = [/,2(0, 1)]а= = {("!,
u2):ui ? L2 (0, 1)} со скалярным произведением
1
<u, v>= J [U1(x)V1(x) + U2 (х) V, (x)]dx, (VIII.46)
о
где использовано обозначение u = (t/1(-), U2(-)), v = (Vi(-)> V,(-)).
Систему (VIII.45) можно записать в //-пространстве в виде
f = f(p, u) = fa(p|u) + N(p, u), (VII 1.47)
где линейный оператор fв (и-1 •) и нелинейный оператор N (р., •)
определены на подпространстве пространства Я, состоящем из u = (U1 (•),
Ut (•))., таких, что
U{(-), принадлежат L2 (О, 1)
и Vi (0) = Ui (1) = 0.
Эволюционное уравнение (VIII.47) в Я представляет собой форму записи (VI
11.45) в гильбертовом пространстве, если
UM-) = U0|-)+pW(0I-),
N (В, u) = C(u, u, u) = -ifaaa(0|u|u|u),
[fa (0 I u)] (x) = + я, {Ui {x) _ и t (x))( дю^х) +
+ n2(^iW + ^W)), [*"u (01 u)] (x) = {Ux (x) - Я, (x), Ux (x) + Я, (x)),
[c (u, u, u)] (x) - {c/; (x) + u\ (x)+1 [(^)2 + (^%^)2]} X
X(Ux(x), U, (x)).
Спектр оператора fa(p|-) может быть вычислен точно: это есть множество
собственных значений = - ?2л2 + (1 ± 1') (л2 + р)}; где k-любое
положительное целое число. Собственный вектор, отве-
156
ГЛАВА VIII
чающий А*, есть
Ф (*) = sin (knx) (i, 1).
