Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Собственное значение с наибольшей вещественной частью представляет собой
собственное значение с k= 1. Если |я = 0, то эта наибольшая вещественная
часть обращается в нуль; ±1'л2 являются простыми собственными значениями
оператора 1И(0|-);
-собственный вектор для in2, а ?0-собственный вектор для -гл2. Поэтому
имеем
и потеря устойчивости строгая, т. е. ?д=1>0.
Оператор, сопряженный f0(p|-) относительно скалярного произ-
def
ведения в Н, есть (р | •) = [fa (р. | •)]*. Легко проверить, что
Для получения бифуркационного периодического решения используем метод,
степенных рядов, изложенный выше. В настоящем случае условия разрешимости
Фредгольма (VIII.35) принимают вид
дают искомое бифуркационное периодическое решение. В действительности
члены более высокого порядка в (VI 11.51) тождественно равны нулю, а
остающаяся приведенная часть является точным решением уравнений (VI
11.45).
Пример VIII.2. (Бифуркация в функциональных дифференциальных уравнениях.)
Рассмотрим функциональное дифференциальное
So (x) = sin (л, x)(i, 1)
(VIII.48)
(r)0 = Я2. <7ц=1+*,
(VIII.49)
[f; (р I и)] (х) = (+ (л2 + р) [Ui (X) + и, (х)],
+ (я. + ц) [f/i {х) _ Vi W] ). (VI11.50)
6<C(?0, ?0), - 8.
Поэтому
Pg - COg - 8
и уравнения
[u(s, e)] (x) = 2e sin ях (-sins, cos s) + 0 (e3), p(e) = 4e2 + 0(e4), со
(e) = л2 -f- 4e2 -f- 0 (e4)
(VIII.51)
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
157
уравнение
т = -(т + *4) -W + (VII 1.52)
называемое уравнением Хатчинсона-Райта. (Систематическое исследование
этого уравнения можно найти в книге Дж. Хейла "Функциональные
дифференциальные уравнения" (J. К. Hale, Functional Differential
Equations, New York - Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977). В
(VIII.52) U (t) - неизвестная вещественная функция, зависящая от значений
U (s) для t-Поэтому можно рассматривать U (s) как элемент пространства
С - {непрерывные функции на [-1, 0]},
а операторы на этом пространстве, соответствующие уравнению (VI 11.52),
можно определить так:
( d<p (0)/d0, если -1^0<О,
[ММФ>]<е>-{ _w2+rt"_1)i если е_о, №111.53)
[N(j..")](e)=(A+li)xf °' есл" -'<0<0'
V2 / ( -ф(-1) ф (0), если 0 = 0.
(VI 11.54)
Уравнение (VI 11.52) может быть записано в виде
du/df = f"(p|u) + N (р, u), (VII 1.55)
где
[и(О](0)=*/(/ + 0).
Из этого определения следует, что (VIII.55) можно записать в виде dU (/-
(-0) _ j dU(t + Q)/dd, если- 1<0<О,
Л \ -(n/2 + p.)U(t-l)(l + U{t)), если 0 = 0.
Спектр линейного оператора f"(p|-) состоит лишь [из собственных значений
о конечной кратности, удовлетворяющих уравнению
<т+(|+ ц)е-° = 0. (VIII.56)
Для р = 0 получаем два собственных значения: ±to0, юи = л/2, остальные
собственные значения имеют отрицательные вещественные части.
Дифференцируя (VIII.56) по р при р = 0, находим, что
<M0) = ('4-y)(i+t)_1' (VIII.57)
так что условие Хопфа > 0 выполнено.
158
ГЛАВА VIII
Для исследования бифуркации нам нужно определить сопряженный оператор по
отношению к дуальному произведению (см. цитированную книгу Дж. Хейла)
о
<<р, ф> = ф(0)ф(0)-^ Jq>(g)ijj(g-fl)dg (VIII.58)
-1
между всеми элементами ф^С и всеми элементами
ф ? С* = {непрерывные функции на [0, 1]}.
Тогда отсюда следует, что оператор, сопряженный fu(p(-) по отношению к
(VI 11.58), дается формулами
( - dti (Q)/dQ, если 0 < 0 ^ 1,
К W-"]№-( _(л/2+11Ж1), есл" е=". (VIII.59)
Поэтому имеем дуальные задачи на собственные значения:
f,(oie")=i?e0,
f;(oig0*)=-i|-go*> <So, Eo*>=l,
которым удовлетворяют
S"(0) = expifO,
^ = 1- ((п/2) еХр 1Т 0'
Читатель может проверить, что
<fa.u(0|?o)> So > = j _j_ цп/2) = (0)'
Используем теперь альтернативу Фредгольма (VI 11.32) для вычисления рядов
(VIII.24), дающих периодическое по времени решение, которое ответвляется
от нулевого решения. Находим, что р,1=со1=0,
[Ul(S)](0) = go(0)^+go (0)*-",
f..(0|E"IE.) = 0,
(00 ^ = f (01 u2) + е"Ч" (О I So I So) +е-"* faa (0 | So I Ё0).
[u, (S)] (0) = Б, (е)е*'' + ё,(0)
Б.(0)-^е,я9, -1<0<О.
Поэтому
[и, (S)] (0) е(яве^Н,Щ±Ле-1лве-2^)
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
159
и (VIII.35) можно записать в виде
-4<f"(0||"|^V
-ICO,
¦'яе) , Vo) =
Рг :
4 (Зя - 2) 5я2
>0, со2 = •
2 [Зя-2 + >(6 + я)] 5п(1+(я2/4)) '
_8_
5я2'
Собирая наши результаты, находим, что главная часть бифуркационного
решения дается уравнениями
р=е2^ + 0(е*),
a = -J + e2f+ 0(е^)
U (t) = [u (соО] (0) = 2е cos cut + 4е2 Re ' е2Ш | + 0 (е3).
Пример VII1.3. (Бифуркация в уравнениях, не приведенных к локальной
форме.)
x-f-cojjx = f(x, х, р), (VIII.60)
где x = dx/dt, а функция f обладает необходимой степенью гладкости по
отношению ко всем ее аргументам для малых их значений. Кроме того,
предположим, что
/(0, 0, 0) = М0, 0. 0) = ^(0, 0, 0) = 0,
и используем разложение
f(uu "2,р) = 2 ppuVuVfpqiq"
Р. Ч\Ш Яг
(VIII.61) (VI 11.62)
гДе /ооо==/о1о==/оо1 = 0. и это разложение проведено до членов такого
порядка, который допускается гладкостью функции /. Уравнение (VI 11.60)
можно записать в R2 следующим образом. Определим
