Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Yi1Vi2) = - Зр? |Од(0) |2 < 0 (IX.76)
и одно из двух собственных значений положительное, а другое
отрицательное. Так как у^фугК т0 °^а собственных значения у(1Че)
Т-периодическое
решение
у
/
у
У
у
ЗТ-периодическаЯ
бифуркация
Рис. IX.2. ЗТ-периодическое бифуркационное решение неустойчиво по обе
стороны от критической точки.
и у{2) (е) являются регулярными функциями от е. Отсюда следует, что одно
из двух собственных значений
+ 0(е2)
принимает положительное значение по обе стороны от критической точки, т.
е. как для положительных, так и для отрицательных значений е, как на рис.
IX.2.
У11 (е)' уу
У2) (е). = е .тГ
184
ГЛАВА IX
§ IX. 15. Бифуркация 47'-периодических решений
4Т-периодические решения относятся к указанному в § IX. 10 случаю (2) с п
= 4 и т- 1, 3. Из условия нормировки (IX.47) следует, что
е"Фо =[ult Z*]4r.
Поэтому можно взять функцию их, удовлетворяющую уравнению J)u1 = 0, в
форме, даваемой формулой (IX.64). В § IX. 13 уже было установлено, что рх
= 0, если п = 4. При рх = 0 уравнение (IX.50) можно разрешить не
относительно и2, а относительно функции w0, которая входит в разложение
(IX.69) функции и2. Члены разложения u2 = 2iq>leift'°Z - 2i(p1e-'4)°Z
2w0 (t), пропорциональные фх, обра-
щаются в нуль после интегрирования и
[fim(*|Ul|u2), Z*]4r = 2 [fQQ (^ | Uj | w0), Z*]4r. (IX.77)
(На самом деле (IX.77) имеет место, если u2 заменить на u", a 2w" - на п
(п - l)wn_2 (см. (IX.53)).)
Для нахождения р2 и ср0 необходимо вычислить интегралы в (IX.67) и
(IX.77) и получаемые уравнения разрешить относительно р2 и ср0. Для
упрощения уравнений предварительно отметим, что при р4 = 0 (IX.50) можно
записать в виде
J)2w0 = - iaa (t\щ | ux) = - {e^° f_aa (/| Z | Z) +
+ 2fBa (t\Z\ Z) + e~^iau (t\Z\Z)}, (IX.78)
где w0 не содержит членов, пропорциональных собственным векторам
оператора Ф, т. е. [w0, Z*]iT = 0. В самом деле, решения уравнения
(IX.78), ортогональные Z* (и Z*), определяются единственным образом в
виде
2w" (t) = w02 (t) + exp i (2cp0 + ) w01 (t) +
+ exp(-/(2ф0+(^^) w01(0, w0/6Pr. (IX.79)
Возвращаясь теперь к уравнению (IX.67) и учитывая (IX.64), (IX.77) и
(IX.79), находим, что после интегрирования многие члены обратятся в нуль
и окончательно будем иметь
92сти (0) е1ф" А2е,(Р" + А3е-31<р" = 0, (IX.80)
где
A2=[faa(/|g|w01), e*]T+[feB(*ieiw02), ?*]r+
+[*,"<* ie is ia, sir,
К = [е-гпШ,Т KAt |?|w01), ^"]r +
+ ?*]r,
a m = 1 или 3.
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 185
Уравнение (IX.80) можно записать в виде
Ра + (А2/СГ^)
е-41фо :
Лз/<7ц
Так как модуль функции е-41'Фо = 1) то имеем
М-г +:
(IX.81) (IX.82)
Вещественные значения р2, удовлетворяющие (IX.82), могут, конечно,
существовать при условии, что
(IX.83)
Лз > Im^*-
Предположим, что (IX.83) выполняется; тогда, возводя в квадрат обе части
уравнения (IX.82) и решая получаемое квадратное уравнение относительно
р2, находим
Н--К?)[!]+{1?НЧ,тй'Г [-'.]• (,х-84*
Для каждого из значений (х<я1) и р|2) из уравнения (IX.80) получаем
четыре значения ф0:
,=1'2' '-0'1'2'3- <1Х-85>
Для определения фя и \ip+2 необходимо рассмотреть условие разрешимости
[(IX.52), Z*]nT для уравнения (IX.52):
№
+р(р- 1) [W | и^_а), Z*]4r +
lUil^-a), Z*]iT} +
0, (IX.86)
+ P(P- l)(p - 2) [f" (^ I Ul I W^_a), 1*\r + [gp, Z*]4T =
где ф^.з входит в (IX.86) через функцию ир_2, определенную формулой
(IX.53). Используя метод математической индукции, можно установить, что
IV-i = qV-i = ° Для р>1. (IX.87)
Условия разрешимости уравнений для определения членов более высокого
порядка эквивалентны решению задач бифуркации на основе применения
теоремы о неявных функциях (смотри замечание в заключительной части
дополнения V. 1). Регулярность решения как функции е зависит от
регулярности функции f(-, •), и оно будет аналитическим, если таковой
является f(-, •).
Суммируем теперь результаты, полученные для 4Г-периодических
субгармонических бифуркационных решений.
186
ГЛАВА IX
Теорема. Предположим, что выполняются условия (I), (II) и (III) § IX.6
для п = А, а коэффициенты стц(0), А3 и Л3 определяются по формуле (IX.38)
и формулам, которые приведены после (IX.80). Тогда, если 11шЛ2/а^| > |
то не существует малых по амп-
литуде АТ-периодических бифуркационных решений уравнения (IX. 1) для (х,
близких к нулю. Если |Л"/ац| > 11т(Л2/Оц)|, то существуют два
нетривиальные АТ-периодические бифуркационные решения уравнения (IX. 1)
слева и справа от критической точки. Если | Л21 < | Л81, то одно решение
существует только для /х^О, а другое-только для (х^О. Если | Л2 j > | Л3
j, то два бифуркационнью решения существуют с одной и той же стороны от
|х = 0 :р ^ 0, если Re(A2/crn) < 0; |х ^ 0, если Re (Л2/ст^) > 0. Главные
части бифуркационных решений даются формулами
uе) = еexp i [ф(/)(е*)-(^)] S(0 +
+ е exp ( - i [ фV" (е2) - (jgPj ) f (/) + О (в2), ц</>(е2) = е2р^' +
0(е4), р',1' -0, если |Л2|= Л8|, (IX.88)
ф(/> (е2) =1 arg
+ (y)+0(es), т=!,3, /=1,2.
