Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
1. Он обладает бифуркацией Хопфа при е = 0.
2. Теорема о факторизации имеет место для всех значений е, для которых
определены со и F и их первые производные.
3. F (р, е2) и со (е2) являются независимыми функциями. В общем случае р'
(е2) и со' (е2) не обращаются в нуль одновременно.
4. у = 0 всегда является собственным значением ^ (е). Оно является
геометрически простым и алгебраически двойным собственным значением, если
со'(е2)#0 в точках, в которых у(е) = 0. Если (о'(е2) = 0 для значений, в
которых у(е) = 0, то у = 0 может быть геометрически и алгебраически
двойным собственным значением (см. § VIII.4).
5. При соответствующем выборе функции F (р, V) можно получить вторичную и
повторяющуюся бифуркацию Т (е)-периодических по t решений (2я-
периодических по s решений) с постоянным радиусом е. В самом деле,
уравнение (VI 1.48) показывает, что исследование такой бифуркации можно
свести к анализу уравнения в R1, бифуркационные свойства которого были
полностью охарактеризованы в гл. II.
Глава VIII
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
В этой главе мы покажем, что анализ бифуркации периодических решений от
стационарных решений в R2, который был предметом обсуждения в гл. VII,
приложим также в R" и в бесконечномерных пространствах; например, для
дифференциальных уравнений в частных производных и для функциональных
дифференциальных уравнений, если стационарное решение теряет устойчивость
в простом комплексном собственном значении. Математический анализ,
проведенный для автономного эволюционного уравнения (VI.45), приведенного
к локальной форме, и анализ потери устойчивости решения и = 0, данный в §
VII.9, справедлив и для настоящей задачи.
§ VII 1.1. Собственные проекции спектральной задачи
Запишем уравнение (VI.45) в виде
u = f (р, u) = fB(p|u) + N (р, u), (VIII. 1)
где N (ц, и) = О (I и |а). Малое возмущение v = ea% решения и = 0
удовлетворяет следующей задаче на собственные значения:
a5-",(p|S). (VIII.2)
Сопряженная задача описывается уравнением (см. § VI.7)
оё^ИЁ*). (VIII.3)
и весьма часто в приложениях существует счетное бесконечное
числособственных значений {<тп}, которые можно представить в виде
последовательности в соответствии с величиной их вещественных частей
скопляющихся в -оо (см. рис. VI. 1). Каждому собственному значению
соответствует по крайней мере конечное число собственных векторов и
сопряженных собственных векторов ?*. Как было указано в дополнении IV. 1,
в случае полупростого собственного значения оп можно выбрать собственные
векторы операторов f0 (pi | -) и fu(р|-) так, чтобы они образовывали
биортогональные семейства:
(VIII.4)
146
ГЛАВА VIII
где тп-кратность собственного значения оп (предполагаемого полу-простым).
Умножая теперь обе части уравнения (VIII. 1) скалярно на ?п, получаем
-jjj <u, ?n> = <fa (p| u), g*>-f<N(p, u), g*> =
= <u, i,:((x|g*)> + <N(p, u), ?*> =
= a"<u, g*> + <N(p, u), ?*>. (VI11.5)
Если u мало, то линеаризованные уравнения приводят к выражениям <u(0, ?">
~ <и (0),
так что если Еп(р)<0, то проекция <u(/), g*> убывает до нуля. В
действительности для полной нелинейной задачи существует связь между
различными проекциями, и если некоторые из них не убывают, то этот
последний результат уже не имеет места. Тем не менее важная часть
эволюционной задачи (VIII. 1) связана с частью спектра оператора fB(p|-),
Для которой S"(p)^0.
В задаче бифуркации, изучаемой в этой главе, мы будем предполагать, что
вещественная часть двух комплексно-сопряженных простых собственных
значений о (р.), сг(р) изменяет знак, когда р проходит через 0, а
остальная часть спектра остается в левой части комплексной плоскости.
Пусть - g и g* суть собственные векторы операторов fn(p|-), f" (РI•),
соответствующие собственному значению <т(р). Тогда уравнение, описывающее
эволюцию проекции,
A<u, g*> = a(p)<u, g*> + <N(p,u), g*> (VIII.6)
является комплекснозначным, т. е. двумерным. Поэтому наша задача
представляет собой существенно двумерную задачу всякий раз, когда
u-<u, g*>g -<U, g*>~g является "весьма малой частью", как в § VI.5.
§ VIII.2. Уравнения для проекции и дополнительная проекция
Теперь мы укажем смысл, в котором существенно двумерная задача является
строго двумерной. Сначала представим бифуркационное решение и в виде
вещественной суммы
u(t) = a(t)$ + a(t)Z + v,(t), (VIII.7)
где
<w, ?"> = <g, g*> = <g, g*>-l= 0. (VIII.8)
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 147
Подставляя (VII 1.7) в (VIII. 1) и используя (VIII.2), находим
[а-о(ц)а]? + [а-a(fx)a]l + ^ = fa(^|w) + N(n, u). (VIII.9)
Проектирование уравнения (VIII.9) на g* приводит нас к эволюционной
задаче для "малой части" w на пространстве, дополнительном к натянутому
на векторы g и g;
g = fa(p|w) + (N(p,u)-<N(p,u),g*>g-<N(p,u),g*>?), (VIII.10) и к
эволюционному уравнению для проектируемой части
a-o(p)a = <N (р, и), g*>. (VIII.11)
При выводе уравнения (VIII. 11) были использованы соотношения
<К (ПI w), g*> = <w, f* (p | g*)> = ст <w, g*> = 0.
