Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (VIII.10) теперь легко следует из (VIII.9) и (VIII.II).
Итак, уравнение (VIII. 11) описывает эволюцию проекции решения и на
подпространство, соответствующее собственному значению ох (р) = ст (р), а
уравнение (VIII. 10) описывает эволюцию части решения, которая
ортогональна подпространству, натянутому на векторы g* и g*.
В бифуркационных задачах дополнительная проекция w играет меньшую роль;
от нее зависит только порождаемая нелинейной связью реакция на компоненту
решения, натянутую на g и g. Для того чтобы убедиться в этом, заметим,
что
<N (М-. Ч). (HU|U)+0(H3)), g*>,
-5"<*"" (И-1u Iu)" = a (Iх)+ 2P(p) | a |2 -f-у (p) a2-f-
+ 2a <f аа (p | g | w), g*> + 2a <fаа (p | gj w), g* > +
+ <faa(Mw|w), g">, (VIII.12)
= (И-1Б1Е). S*>.
PW=Y<fn"^|S|g),g*>
(HE IE), ?*>•
148
ГЛАВА VIII
Отсюда следует, что амплитудное уравнение (VIII. 11) может быть
представлено в виде
а-о (р) а = а (р) а2 + 20 (р) | a |a + у (р) а2 +
+ 0(|a|3 + |a||]wj| + !|wf). (VIII.13)
Возвращаясь теперь к уравнению (VIII. 10) и принимая во внимание (VII
1.12), находим, что по истечении достаточно большого промежутка времени
будем иметь w = 0(|a|a), и получаем двумерную структуру бифуркации Хопфа
в общем случае в результате сравнения (VIII.13) с уравнением (VII.5),
которое описывает устойчивость строго двумерной задачи.
§ VIII.3. Решение в виде рядов с использованием альтернативы Фредгольма
Можно построить периодическое по времени решение, которое ответвляется от
решения и = 0 в критической точке (р = 0), в виде рядов по степеням
некоторой амплитуды е, как в (VII.44). В этом построении коэффициенты
рядов можно было бы вычислить как решения дифференциальных уравнений,
которые получаются в результате подстановки этих рядов в (VIII. 10) и
(VIII.11) и приравнивания в получаемых уравнениях членов при одинаковых
степенях е. В этом случае стратегияг) заключается в проектировании
(получении уравнений (VIII.10) и (VIII.11)) и последующем разложении.
Альтернативная стратегия - разложение и последующее проектирование,-
излагаемая ниже, является более определенной и простой для реализации.
В этих построениях вычисляются величины, связанные со спектральными
задачами (VIII.2) и (VIII.3) при р = 0:
[е, р, ?(р), Л (р), о(р), ?(р), ?*(р.)] -> [0, 0, 0, со0, ico0, So, gol-
Мы предполагаем, что ± ico0 представляют собой простые изолированные
собственные значения оператора f"(0|-), т. е. tco0g" = = fa(0|fc0)> -
tcOoSo = (0 | S0), и что все другие собственные значе-
ния f" (0 | -) имеют отрицательные вещественные части. Предполагается
также, что потеря устойчивости решения и = 0 строгая, если *4,(0) > 0.
Замечая теперь, что уравнение, получаемое в результате однократного
дифференцирования по р соотношения (VIII.2) при
р = 0:
сти (0) Е, + *4S" = f" (0 | ^) + fB" (0 | S"),
') Она разработана для дифференциальных уравнений с частными производными
в статье Ж. Йосса Existence et stabilite de la solution periodique secon-
daire intervenant dans les problemes devolution du type Navier-Stokes.
Arch. Rational. Mech. Anal., 47, 301-329 (1972).
ВИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
149
разрешимо тогда и только тогда, когда
МО) = <fel* (01 &,).">, (VIII. 14)
из нашего предположения о строгой потере устойчивости следует, что
вещественная часть (VIII. 14) положительна.
Переходим к построению периодического решения, которое ответвляется от
решения и = 0 в критической точке. Существуют два периодических решения
линеаризованной задачи v = fa(0|v) в критической точке: \(t) = ei(S>°%0 и
v(0- Обозначим co0^ = s и положим z (s) = е'%а = v (s/co0). Теперь введем
пространство 2я-периодических функцийх). Обозначим это пространство 2л-
периодических функций
символом Р2Л. Тогда z и z принадлежат р2П. Определим также скалярное
произведение в Р2П
def 1 2р
t3' b]= 2Т J <a(S)' Ь ^>dS
О
и оператор
Л0 to0^. + ffe(°|.), (VIII.15)
в нуль-пространстве которого лежат z = e's?0 и z ? Р2Я:
J)0z = J0z = 0. (VII 1.16)
Определим сопряженный оператор JJ, действующий на произвольные поля a(s),
b(s) Cp2JX,
[J0a, b] = [a, Л0*Ь] (VIII. 17)
и найдем, что
Ло* = ю о^ + А*(°), (VIII. 18)
где оператор А*(0) определен формулой (VI.48) и
Ло*г*=Лог* = 0, (VIII. 19)
где
г* = е'^0'€Р,л (VII 1.20)
(?"' есть решение задачи (VIII.2)). Можно представить (VIII.14) в виде
МО) = <и(°1?о^)е-'*, ?"*> =
= <fa(i(0|z), z*> = [fa;x (01 z), z*]. (VIII.21)
J) Естественно, мы предполагаем, что функции, принадлежащие Р2Л, обладают
гладкостью, требуемой для наших вычислений. Точная степень гладкости
указана в работах, цитируемых в этой главе, и здесь не отмечается.
15j0
ГЛАВА VIII
Теперь мы готовы к построению периодических бифуркационных решений
уравнения и = /(ц, и) в виде рядов по степеням амплитуды
e = [u, z*]. (VIII.22)
Возможны различные определения амплитуды. Например, можно положить е" =
/[и], где г [и] есть однородный функционал с показателем однородности п,
так что если u = ev, то l = /[v]. Обычно лучше выбрать такую амплитуду,
