Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
периодические-решения, ответвляющиеся от стационарных решений,
ответвляются либо с одной, либо с другой стороны от критической точки, и
никогда с обеих сторон; периодические бифуркационные решения не могут
образовывать двусторонней или транскритической бифуркации (см. рис. II.3
и VI 1.2).
§ VI 1.6. Теория Флоке
Теория Флоке представляет собой линейную теорию устойчивости периодически
зависящих от времени решений. Непосредственным объектом исследования
теории Флоке служит линейное дифференциальное уравнение с периодическими
коэффициентами. Такие уравнения появляются при исследовании вынужденных
Г-периоди-ческих решений неавтономного линейного уравнения с Г-периоди-
ческими коэффициентами или при исследовании устойчивости периодических
решений стационарных (автономных) задач. Теория устойчивости более
сложных решений, например квазипериодических, значительно труднее теории
Флоке и не допускает элементарного анализа.
') Такие члены приводятся к тройным произведениям, составленным из ij и
Ь±, и всегда без груда могут быть учтены.
5*
132
ГЛАВА VII
VII.6.1. Теория Флоке в R1
Начнем с анализа устойчивости Т-периодических решений U(t)= = t/ -J- Т)
уравнения V = F (V, t) = F(V, t + T), где F(0,t)=F(0, t+T)+=0-известная
Т-периодическая функция. Положим V-U(t)+u. Тогда уравнение
имеет "локальную форму", /(О, 0 = 0, и /("> 0 допускает тейлоровское
разложение: f(u, t)=a1 (0 и+аг (0 иг+0 (| и |3),гдеа,-(^)=а,-(/-|-Г).
Линеаризованная эволюционная задача описывается уравнением
Пусть <р(0-решение уравнения (VII.II), для которого и(0)=и0=1,
удовлетворяющая функциональному уравнению (VII. 13), называется
множителем Флоке, а числа о называются экспонентами Флоке. Экспоненты
определяются множителем неоднозначно:
Экспоненты являются собственными значениями приводимого ниже
дифференциального уравнения (VII. 17). Определим функцию
u = F(U(t) + u, t)-F{U(t), t) = = f(u, i) = f(u, t + T)
(VI 1.10)
v = a1(t)v,
(VII. 11)
и
(VII. 12)
Ф (t) = exp J ax (s) ds.
Поскольку a1(/) = a1(/-f T), то имеем
t+r t
J a, (s) ds - J ax (s) ds
t + T
T
<р(2Г) = ф(Г)<р(Г), ф (пТ) = ф" (T). (VI1.13)
Функция
ф (Т) = еРт ,
(VI 1.14)
о = ^г1пф(Т)+^, k?Z.
(VI 1.15)
Ш = ф(0е"°'.
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 133
Тогда
? (/ + Т) = ф (t + Т) е-°'е~°т = Ф (/) е~°' = ? (/), (VII. 16)
и ?(?) является Т-периодической, а поскольку ф = ах(^)ф, то
а? = -? + о,(0;. (VII.17)
Поэтому общее решение уравнения (VII. 11) можно записать в виде
у(0 = ?(0е°Ч.
где ? (/) = ?(/ + Т). Если о < 0, то v(t) -> 0 экспоненциально. Если
т
о > 0, то v (t) ->оо. Эквивалентно, если ф (Т) = ехр^ ах (s) ds < 1, то
v(t) -0.
Покажем теперь, что если ф (Г) < 1 (или, что эквивалентно,
если о < 0), то решение и = 0 уравнения (VII. 10) условно
устойчиво.
Доказательство почти совпадает с приведенным в § II.7 для автономной
задачи. Сначала перепишем (VI 1.10) в виде
и = ах (t) u + b (t, и). (VII.18)
Это эквивалентно уравнению
I
и (0 = ф (t) н0 + 5 Ф (0 Ф-1 (s) ь (s, и (s)) ds -
0
/
= ?(0e°'Ho+S^u-s)C(0r1(s)b(s, u(s))ds, (VII. 19)
0
где ф-1 = 1/ф, ?_1=1 /?. Чтобы это увидеть, проще всего
продифференцировать (VII. 19). Получаем
t
"=w ^ wеа,) и"+ь(*>и (*))+J w (r) ^ е°^ e~as Ь ds>
о
^g(t)eo') = ai(t)e^m
и
u = b(t, и (/)) + а, (/){?(0 е°'и0 + J в(r)"-*" ? (Q ?~l (s)6 (s, и(s)) ds
' 0 - b(t, и (t)) -f ах (0 и.
Дальше доказательство совпадает с приведенным в § II.7. Мы находим, что
решение и = 0 экспоненциально устойчиво, если и" достаточно мало и о < 0.
134
ГЛАВА VII
VII.6.2. Теория Флоке в IR2 и К"
Если и-вектор, то теория Флоке обладает некоторыми новыми особенностями.
Однако переход от R2 к R" с п > 2 не вносит новых свойств в обобщенную
теорию Флоке. Поэтому мы можем излагать эту теорию для уравнения
есть Т-периодическая (лхя)-матрица, рассматривая случай п - 2 в качестве
примера.
Матрица A (t) может получаться в результате линеаризации неавтономного
уравнения V = F(?, V) = F (t + T, V), F (t, 0)=^0, имеющего Т-
периодические решения V = U (t) = U (t + T). Линеаризация этого
нелинейного уравнения, приведенного к "локальной форме", дает
Если п>1, то периодические решения u (f) = u (f + Т) могут ответвляться1)
от стационарных решений V=V0 автономных задач V = F(V), F(0)#0. Тогда
возмущение v в V = V0 + u(f) + v удовлетворяет Г-периодической задаче,
приводимой к локальной форме:
v = F (V0 + u (t) + v) - F(V0 +1. (0) = f (u (0, v)=f (u (t+T), v),(VI
1.24) где f (u (t), 0) = 0. В этом случае
В нашем изложении теории Флоке нет необходимости сохранять различие между
периодическими матрицами A (t) = A (t + Т), которые
(VII.21)
(VI 1.20)
V = U(0 + v,
v = F (/, U (0 + v) - F (t, U (0) =f(f, v),
def
(VI 1.22)
где f(/, 0) = 0 и f (t + T, v) = f (t, v). В этом случае
v = A(0-v,
(VI 1.23)!
где
A(t) = Fv(t,U(t)\-) = iv(t\-).
(VI 1.23)
def
v = A (0 V,
(VI1.25)j
где
A (t) = F, СV0 + u (01 ¦•) = f" (u (t) | •). (VI1.25)g
a) Мы можем иметь также периодические решения автономных задач, не
