Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
происходящие от указанной бифуркации.
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 135
получаются из неавтономных Г-периодических задач, и матрицами,
получаемыми из автономных задач, имеющих периодическое решение. Однако
это различие существенно, потому что неавтономная задача инвариантна по
отношению к сдвигу начала отсчета времени на t = T, а автономная задача
инвариантна по отношению к произвольному сдвигу начала отсчета времени.
Математическим следствием этого различия является то обстоятельство, что
u(t) есть Т-периодическое решение уравнения (VI 1.25), тогда как U (t) не
является Г-пери-одическим решением уравнения (VI 1.23) (дальнейшее
обсуждение этого вопроса см. в предпоследнем абзаце этого подраздела).
Пусть vt и v2 суть линейно независимые решения уравнения v = A (t)-\ для
v(?)?IR2. Тогда любое решение является линейной комбинацией этих двух
решений:
v(t) = axl(t) + bx2(t). (VII.26)
Далее, x(i + T) удовлетворяет уравнению x = A(t + T)-x = A(t)-v, если v
{i)-решение этого уравнения. Поэтому
Vi (t + T) = (t) + bxv2 (t),
v2 (t + T) = a2vl(t)+b2v2(t). (VI 1.27)
Введем следующее определение фундаментального матричного решения в R".
Пусть уф = еу v(- (t, j = 1, 2, ..., п) есть /-я компонента вектора v;.
Фундаментальное матричное решение представляет собой любую матрицу,
столбцы которой являются компонентами линейно независимых решений
уравнения v = A(/)v, v?R". Предположим, что
V(0 = [vi(*), v,(*).......v"(0] (VII.28)
есть фундаментальное матричное решение. Тогда
V(t + T) = A(t + T)-V(t + T) = A{t) V(t + T). (VI 1.29)
Поэтому V (t Т) представляет собой фундаментальное матричное решение,
если этим же свойством обладает V (/). Отсюда следует, что V (t + Т)
можно представить в виде линейных комбинаций столбцов матрицы V (t).
Следовательно,
V(f + T) = V(0-C, (VII.30)
где С-постоянная (пхп)-матрица, которая на самом деле зависит от V (0)
(и, конечно, является функционалом от А (/)).
В IR2 имеем
'а1 а2
А ь2
и (VII.30) есть не что иное, как (VII.27).
136
ГЛАВА VII
Пусть Ф (t)- фундаментальное матричное решение с начальным значением,
равным единичной матрице:
Ф (0) = 1 (Ф,у = б(7). (VII.31)
Тогда Ф (t + Т) = Ф (t)-C, и поэтому при ^ = 0
Ф(Г) = С. (VII.32)
Значение при t = T фундаментального матричного решения \(t),
удовлетворяющего уравнению (VI1.29) с начальным условием V (0) = I,
называется матрицей монодромии. Соотношение (VI 1.30) можно переписать в
виде
ф(/ + Г) = Ф(0Ф(Т),
Ф(2Г) = Ф2 (7),
Ф (37) = Ф (27) Ф (7) = Ф3 (7)
и
Ф(я7) = Ф"(7). (VII.33)
Собственные значения матрицы Ф (7) называются множителями
Флоке. Находим, что
Ф(7)Ф = А,(7)ф,
Ф(л7)ф = М>г7)ф, (VI 1.34)
ф" (Г) • ф = %п (7) ф.
Поскольку Ф (пТ) = Ф" (7), то имеем kn (7) = I (пТ), и поэтому можно
определить экспоненту Флоке o = ?-f 1х\ соотношением
Ц7) = ехрсг7
и записать задачу на собственные значения в виде
Ф(7)-ф = е°гф. (VI 1.35)
Если о-экспонента Флоке, соответствующая Х(Т), то o + (2nik/T), k?Z,
является также экспонентой Флоке, соответствующей Х(Т).
Получим теперь для экспоненты задачу на собственные значения. Сначала
определим вектор
у(/) = Ф(0-ф. (VI 1.36)
Отсюда тогда следует, что v (0) = ф,
у(^ + Г) = Ф(/ + Г).ф = Ф(0Ф(Г).ф=!
= е°тФ (^). ф = е°т\ (/)
и v = A(/)v. Определим функцию
i(t) = e~ Clx(t),
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 137
которая является Т-периодической:
? (t + Т) = е~° <*+r>v (t + T) = е~ *v (t) = ?(/), (VI1.37),
?=_а? + ;е-<" = -а? + А(0?. (VI 1.37),
Уравнения (VII.37) определяют для экспонент Флоке задачу на собственные
значения.
Напомним теперь, что v (t) представляет собой малое возмущение Т-
периодического решения U (t) неавтономной задачи или периодического
бифуркационного решения и (0 автономной задачи. Из представлений (VII.36)
и (VII.34) находим, что
v (t + пТ) = Ф (i) Ф (пТ) ф = ЯПФ (0 ф,
и заключаем, что v (() ->-0 при t->¦ оо (для значений t, лежащих между пТ
и (п+1)Т, |]Ф(0Ф1 ограничена сверху и снизу), если |Д.| = е?г< 1 для всех
множителей Флоке }H = e°iT, принадлежащих спектру матрицы Ф (Т).
Эквивалентное утверждение с использованием
Рис. VII. 1. Множители Флоке и экспоненты Флоке. Повторяющиеся точки frj0
+ -f- (2nik/T), k?z, на мнимой оси о-плоскости отображаются в одни и те
же точки комплексной А-плоскости. Периодическое решение теряет
устойчивость, когда пара комплексно-сопряженных экспонент пересекает
мнимую ось о-плоскости или пара комплексно-сопряженных множителей выходит
из единичного круга. Экспонента, пересекающая мнимую ось в начале (о =
0), соответствует множителю, выходящему из единичного круга в точке Л, =
1. Экспоненты, пересекающие мнимую ось в точках о= ± m/Т, соответствуют
множителю к = -1. В определенном смысле пересечение единичной окружности
является "типичным" (см. упражнение XI.2).
экспонент состоит в том, что \ (t) = ea%(t), ?(/) = ?(/ + Т), стремится к
нулю при t->¦ оо, если -in = Rea" < 0 для всех собственных значений ап
задачи (VII.37). На рис. VII. 1 графически представлено влияние на
