Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
приводятся задачи более высокой размерности.
§ VI 1.1. Структура двумерной задачи, описывающей бифуркацию Хопфа
Задача бифуркации стационарного потока в периодический по времени поток
является существенно двумерной. В одномерной задаче невозможно, чтобы
периодическое по времени решение ответвлялось от стационарного решения. В
двумерном автономном случае снова рассмотрим эволюционную задачу (IV.2):
ui = Aij(ii)uJ + Bi/k(ii)u/.uk + 4. в. п., (VII.1)
• def
где u^du-i/dt, а Л,7(р) суть компоненты А(р).
Мы предполагаем, что дискриминант (Ап-Агг )2 + 4 A12A2i отрицателен в
окрестности р = 0. Тогда собственные значения п(р)=?(р) + + 111(11) и
собственные векторы ?(р) матрицы А(р) являются комплексно-сопряженными и
а(ц)? = А? ". = Л,7д, (VI 1.2),
о(ц)Е* = Аг?*, (VI1.2)3
где (р)-сопряженный собственный вектор, отвечающий собствен-
ному значению о (р), со скалярным произведением <х,у>=х-у. Можно
бифуркация периодических решений из стационарных
129
ввести следующую нормировку:
<?, ?*> = ?-?* = Ш=1,
<Б, ?*> = ?*?* = О- (VI13)
Собственные значения а (р) = ? (р) -НД (р) порождаются спектральной
задачей при исследовании устойчивости решения ",• = 0 си-
стемы (VII. 1). Мы предполагаем, что эта потеря устойчивости происходит
при р = 0, так что |(0) = 0. Мы будем исследовать бифуркацию в
периодические решения при выполнении следующих условий:
г,(0) = о)0^0 и = (VI1-4)
(скажем, ?ц(0)>0).
§ VI 1.2. Амплитудное уравнение для бифуркации Хопфа
Для Того чтобы доказать бифуркацию в периодические решения при выполнении
условий (VI 1.4), заметим, что ? и ? независимы и поэтому любой
вещественный двумерный вектор u = (Ui, иг) можно представить в виде
Ui = a(t) С, + а(0?/.
Подставляя эти соотношения в (VII. 1) и используя (VI.2), находим
й?/ + = а (М-) w + а (М-) ъ; + o-'hBiJ^jt=k 2 |а|2 +
+ а25"Л + 0(|а|3).
Используем теперь свойства ортогональности (VI 1.3) для приведения
последних уравнений к одному комплексному амплитудному уравнению:
aW (р, а)=о (р) а+а (р) а2+20 (р) | а |2+у (р) а2 + О (| а |3), (VI1.5)
где, например, а (р) = В,(Р) ?/?*??• (Для простоты в этой главе отбросим
в i (р, а) кубические члены. В бифуркационном решении наличие этих членов
скажется во втором порядке, однако их учет не приводит к каким-либо новым
особенностям. В гл. VIII мы сохраним отбрасываемые здесь члены.)
Устойчивость по первому приближению решения а = 0 уравнения (VI 1.5)
определяется уравнением a = a(p)a, a = constxe0(^)(. В критической точке
(р = 0) решение а = const X еш°' является 2я-периодичным по s = a>0(.
130
ГЛАВА VII
§ VI 1.3. Решение в виде рядов
Покажем, что бифуркация периодического по времени решения может быть
построена из решения линеаризованной задачи в критической точке. Это
бифуркационное решение представимо в форме
a(t) = b(s,z), s = со (е) ^, со(0)=(о0, р = р(е), (VII.6)х
где е-это амплитуда, определяемая соотношением
2 Л
е= 2^ j e~i$b(s' e)ds = [fc]. (VII.6)2
О
Решение (VII.6) уравнения (VII.5) единственно с точностью до
произвольного переноса начала отсчета времени. Это означает, что при
замене t-*t-\-c решение b(s-\-m(e), е) изменяет свою фазу. Это
единственное решение является аналитическим по е, если функция / (ц, а)
аналитическая по переменным (и, а, а), и может быть представлено в виде
ряда
b{s, е) " 00 ~Ьп (s)~
(о(е)-со0 II м а "я
_ И- (") . л = 1 . М-Я -
VI 1.4. Уравнения для коэффициентов рядов Тейлора
Возмущенные задачи для определения bn(s), (о" и можно получить в
результате подстановки (VII.7) в уравнения ab = f(ix, b) и е = [6] и
приравнивания в их левых и правых частях членов при одинаковых степенях
е. В первом приближении находим
(оА - 1(оД = 0. [&х]=1, b1{s) = eis.
Во втором приближении находим, что [62] = 0 и
(r)0[Ь2-ib2]+a1bl = y,1ollb1 + a0bl + 2$0\b1 |2 + у"Ь!,
где сгц = dcr(0)/dp и, например, схо = а(0).
§ VII.5. Условия разрешимости (альтернатива Фредгольма)
Уравнения вида b(s) - ib (s) = f (s) = f (s + 2л) разрешимы для 6 (s) =
fr (s + 2я) тогда и только тогда, когда ряд Фурье для /(s) не содержит
члена, пропорционального eis. Поэтому, поскольку ?^0, получаем ^ = 0^ = 0
в (VI 1.7) и
L :и (a0ea?''s + 2Po + Yo"_2''J)
- т..
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 131
Отсюда находим
Ь2 (-)
i(00
В третьем приближении, пренебрегая кубическими относительно b членами1),
имеем задачу
^ ^ { - Ю2^1~Ь Jr^aob1b2 + 2Ро (^162 Ч~^i^b) ~Ь 2у0&1&2}
(VII g)
3 wo
Для решения задачи (VI 1.8) мы должны исключить в правой части (VI 1.8)
члены, пропорциональные e's. Для этого необходимо, чтобы [Ь3] = 0, т. е.
чтобы
Г0Э2 - Ц2СТц = - I Ро I2 -2"0Ро- (2 | То Р/3)} _ (уП 9)
IV>0
Вещественная часть (VII.9) разрешима относительно ц2, если Мнимая часть
(VI 1.9) всегда разрешима относительно со2.
Вычисляя члены более высокого порядка, легко убедиться, что все
возмущенные задачи разрешимы при выполнении условий (VII.4) и что со(е) =
ш(-е), р(е) = р(-е) суть четные функции. Отсюда следует, что
