Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивость множителей и экспонент Флоке.
138
ГЛАВА VII
В заключение отметим снова, что в автономном случае, когда и(^ + Г) = и(0
удовлетворяет уравнению u = f(u), функция ? = и, удовлетворяющая
уравнению u = fa(u|u), является собственной функцией задачи (VII.37) с
собственным значением ст = 0. Поэтому условная устойчивость решения и(/)
(см. монографию Коддингтона и Левинсона, указанную в § IV.2) обеспечивает
асимптотическую устойчивость не одного, а множества решений и(^ + а),
зависящего от фазы а. Если малые возмущения притягиваются к этому
множеству, то говорят, что множество периодических решений обладает
условной асимптотической орбитальной устойчивостью.
Закончив это длинное отступление в область теории Флоке, мы готовы
возвратиться к задаче устойчивости бифуркационных периодических решений.
§ VI 1.7. Уравнения, определяющие устойчивость периодических решений
Найдем теперь условия устойчивости бифуркационных периодических решений.
Рассмотрим малое возмущение z(t) решения b(s,e). Полагая в (VII.5) a(t) -
b(s, e) + z(/), находим линеаризованное уравнение z (t) = fa (р (е), b(s,
e))z(i), где fa = &f/da, a s = w(e)E Затем, используя теорию Флоке,
положим z(t) - eyiy(s), где y(s) = = y(s + 2л), и найдем, что
у del
yy(s) = - uy{s) + ra(\i,b)y(s) = [J{s, 8)y]{s), (VII.38)
где y(s) = dy(s)/ds.
§ VI1.8. Теорема о факторизации
Результат, относящийся к устойчивости, мы сформулируем в виде теоремы о
факторизации. Для доказательства этой теоремы мы используем то
обстоятельство, что у = 0 всегда является собственным значением оператора
J с собственной функцией b(s, е):
Jb = О, (VII.39)
а также соотношение
ше(е)b(s, е) = р8 (е)/11(ц(е), b(s, e)) + JbR, (VI1.40)
которое получается в результате дифференцирования уравнения соЬ = /(р, Ь)
по е при любом е.
БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ 139
Теорема о факторизации. Собственная функция задачи (VI 1.38) и экспонента
Флоке у вычисляются по следующим формулам:
y(s, е) = с (е) е) + Ьг{э, е) + р? (е) eq (s, е)| ,
т(е) = соЕ(е) + р8(е)т(е), (VI 1.41)
у(е) = р8 (е) у (е),
где с (г) - произвольная постоянная, a q(s, e) = q{s + 2л, е), т(е)
и у (е) удовлетворяют уравнению
т?> + уЬе + /ц(Р, b) + R{yq - Jq\ = 0 (VII.42)
и являются гладкими функциями в окрестности е = 0. Более того, х (е) и у
(е)/е суть четные функции и такие, что
7е(0) = - Ец(0), 'г (0) = - Пц (0)- (VI 1.43)
Замечание. Если соЕ(0)^0, то с(е) можно выбрать так, что у( s, e)-+b{s,
е) при е -*- 0.
Доказательство. Подставим выражения (VII.41) в (VII.38) и используем (VI
1.39) для исключения Jb и (VI 1.40) для исключения Jb&. Это приводит к
уравнению (VII.42), решение которого можно найти в виде ряда
q(s, е) у(е)/е
Д(е)
где у0 = Уе(0)> а то = т(0)- Используя то обстоятельство, что в членах
наименьшего порядка b = eeis, у = О (е2) и (из (VI 1.5)) гц (р, Ь)= =
oa(0)else, находим, что
Л de
е* [гг (0) + у8 (0) + аи] - J0qa = 0, /" = /(., 0). (VII.45)
Уравнение (VIE45) разрешимо относительно g"(s) = g0(s-|-2n) тогда и
только тогда, когда выражение в квадратных скобках равно нулю; это
выражение равно нулю, если выполняются условия (VI 1.43). Остальные
свойства, содержащиеся в теореме, можно установить, используя степенной
ряд (VI 1.44) и применяя метод математической индукции (см. Джозеф Д.
Устойчивость движений жидкости. - М.: Мир, 1981, гл. 2).
Заключения об устойчивости по первому приближению периодического решения
для малых значений е можно теперь получить из анализа спектральной
задачи: решение u(s, e) = u(s + 2n, е) устойчиво, если у (е) < 0 (у (е)-
:вещественное), и неустойчиво, если у (е)>0, где
у (е) = (е) у (е) = - ре (е) (0) е + О (е3)}. (VI1.46)
00 ?i(s)
= 2 ь
г = о Jl .
е*.
(VI 1.44)
140
ГЛАВА VII
Рис. VII.2. (а) Суперкритическая (устойчивая) бифуркация Хопфа. (б)
Субкрити-ческая (неустойчивая) бифуркация Хопфа с экстремальной точкой. В
случае (б), если нулевое решение теряет устойчивость строго, когда р,
возрастая, проходит через нуль, то и нулевое решение неустойчиво для р >
0 (как показано); двойное собственное значение оператора J0 расщепляется
на два простых собственных значения J (•, е): одно из них есть нуль, а
другое (у (в)) определяет характер устойчивости. Для случая (б) р(в) =
р(-е) есть бифуркационная кривая периодического по времени решения u (s,
е). Экспонента, соответствующая и (s, в) и определяющая характер
устойчивости, есть у (в), и у (в) = (е) у (в) =
= у (-в) = (хе (в) {уе (0) в + 0(83)} = (хе (в) {- gp.e+0 (в3)}. Если сое
(в*) Ф 0 в экстремальной точке, то в этой точке т Ф 0, а собственная
функция, определяющая характер устойчивости, пропорциональна u (s,e Д.
§ VII.9. Интерпретация условия устойчивости
Мы уже сделали предположение о том, что решение и = 0 уравнения (VII. 1)
теряет устойчивость, когда р., возрастая, проходит через нуль, и (0) > 0.
Поэтому ветви, для которых рЕ(е)е>0, устойчивые, а ветви, для которых рЕ
(е) е < 0, неустойчивые. Имеются две возможности, когда е мало:
