Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
некоторые сложности лишь в деталях. Он будет состоять в преобразовании
уравнений (1), (2), (3), с присоединением начальных условий
х = а, у - Ъ, г = с, при t = t0. (4)
и интегрировании системы (3) по t. Таким образом, получаем:
т-
¦L%
У = Ь + ......................................
з = с-\-..........................................
Получаем, таким образом, систему (2), (5), которая образует систему
интегро-диференциальных уравнений для определения функций (х, у, z).
Усложнение вычисления происходит оттого, что объем г1\ неизвестен
заранее, и его определение должно получаться в каждый момент из
интегрирования самой системы.
Очевидно, эту систему можно исследовать методом последовательных
приближений, с детальным применением которого мы встретимся в следующей
главе.
В настоящий момент, после этого предварительного замечания, мы начнем с
подготовительной работы, напомнив некоторые классические результаты,
относящиеся к разрывам в несжимаемой жидкости; это нам позволит, между
прочим, доказать общим способом теорему относительно непрерывности
давления при переходе через поверхность "S', ограничивающую вихревую
область: мы встречали эти результаты в различных частных примерах,
рассмотренных в предыдущих главах, и теперь важно доказать теорему в
общем виде. Давление исключено из уравнений Коши и Гельмгольца, которые
мы напомнили в виде (2) и (3). Но нам следует полностью определить
давление, т. е. вернуться к уравнениям Эйлера или уравнениям, им
эквивалентным, и непрерывность входящего туда давления представит
физически необходимое условие.
Здесь существенно замечание, нами только что сделанное (см. L.
Lichtenstein, loc. cit.). Почему мы, собственно, не берем вместо
уравнений (2), (3) уравнения Эйлера, как основу наших рассуждений? Это
объясняется тем, что в этих уравнениях
ди , 'ди , ди , ди 1 др
четыре неизвестных функции, и, v, tv, р не играют одинаковой роли. Здесь
мы задаемся и, v, tv для < = t0, но р не дано в этот начальный момент во
всей жидкости. Кроме того, уравнения могут быть разре-ди dv dw
шены относительно тогда как четвертое уравнение
др
не дает .
Чтобы освободиться от этого несоответствия, мы приходим к исключению
р, и это именно тот путь, которого мы придерживались
в главе I, чтобы получить уравнения Коши и Гельмгольца, которые
мы написали выше. Заметим еще, что если мы изучаем газ, а не жидкость,
все примет совершенно иной вид, так как уравнение неразрывности
представится в форме:
Эр д(ри) д QQ . d(pw)
dt "¦ дх ' ду ' дг
В силу дополнительного уравнения (при допущении, например, что
температура постоянна),^ будет функцией р, и мы будем иметь четыре урав-
ди dv dw Эр "
нения, разрешимых относительно -тгг , -гг, > -зт-• Задача
ot ot ot ot
получит тогда совершенно иное решение, и то, что может быть высказано
относительно жидкостей, не может быть перенесено, без глубоких изменений,
на газы.
Некоторые классические свойства, относящиеся к разрывам. Здесь мы вкратце
укажем различные результаты, сделавшиеся уже классическими после работ I.
Н a d a m а г d'a (Lemons sur la propagation des ondes, Paris, 1903).
Пусть 8 есть рассматриваемая поверхность внутри жидкости в момент t.
Пусть (х, у, г) будет положение жидкой частицы в этот момент; координаты
х, у, г являются функциями начального положения а, Ъ, с и времени t.
Допустим, что эти функции, также как и все их частные производные по а,
Ъ, с, t до порядка п - 1 включительно, непрерывны при переходе через S,
но что одна, по крайней мере, из частных производных порядка п разрывна.
При этих условиях S называется поверхностью разрыва или волной порядка п.
Мы обозначим через Ф (х, у, г, t) = 0 уравнение такой поверхности и
рассмотрим поверхность 80, место начальных положений (я, Ъ, с) в момент
t0 тех молекул, которые в момент t окажутся на 8. Эта поверхность S0
будет иметь уравнение вида
F(a, Ъ, с, 0 = 0,
которое зависит от t, так как во всякий момент вообще новые частицы будут
составлять поверхность 8. Обозначим значками 1 ж 2 соответственно две
стороны 8; пусть MN нормаль в одпой из точек 8,
направленная, например, в сторону 2; направляющие косинусы этой нормали,
очевидно, будут:
1 ЭФ /ГЭФ . / ЭФ . / Эф \i
*--'Тх7' •••' где j/ (~аг) + (~ty) +(ir) '
знак ft совпадает со знаком функции Ф в области 2. Если М' точка {x-\-
a.dn, y-\-$dn, jz-j-ydw) пересечения Л/,V с поверхностью <S^+(j,(, т. е.
с поверхностью разрыва, в которую перейдет S через промежуток времени dt,
то уравнение
Ф (ж -|~ adn, У "Ь $dn, s "f" "(d'1' t-\- dt) -О
дает непосредственно:
ЭФ
Ып-\--^- dt - О,
волны в точке Ж будет равна ЭФ dt
ft '
То же вычисление, проделанное для поверхности S0, позволит узнать
скорость распространения волны для начального состояния
дР
г 91 ь /7 dF V I /dF Y- I (9FY
G = k=~V Ы) +(-") + (тг) •••
Вполне понятно, что вообще Оф V, даже если I совпадает с /0, так как
ясно, что нет оснований к тому, чтобы поверхности S0(t) и S0(t -|- dt)
