Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
df_' дх ,
<Sd х
12 9
\dx)s
df
- остается тогда ограниченной; это одно из условии
дх
из числа предположенных допущениями; это следует также (при коэ-фициенте
2', поставленном на место 2) из самого предыдущего неравенства, которое
дает, в предположении, что хг постоянно:
К
дх
<
+ 2 DX = A,
где D обозначает максимальное расстояние между двумя точками
рассматриваемого ограниченного множества. Имеем далее:
и, следовательно, Следовательно:
[Л-А К ^12, если dvi меньше 1; и в противном случае, так как
Иа!)2 = Ad12 d12 ,
можно еще написать:
\fl-f2\^(ADL~))d12x = A'dn\
f удовлетворяет, следовательно, условию {С0\А').
Приступим теперь к доказательствам теорем, которые мы имеем в виду.
Теоремы Корна. Мы начнем с установления предварительной леммы.
Лемма. Пусть Т некоторый объем, ограниченный одной или несколькими
поверхностями. Мы будем вести рассуждения для одной
поверхности S. Пусть п, (я, р, у) внешняя нормаль к S.
Обозначим
через [а постоянную и через г расстояние между двумя точками
{х, у, г) и (а/, у', s')-, если тройной иптеграл будет иметь смысл,
то имеем формулу:
В самом деле, но определению имеем:
. . х' х . .у' - у s'----------S
COS (rn,) = а h 3 i 4- у--.
Y У У
Рассмотрим поверхностный интеграл:
S УПе dl, ^ ~ ^ + Р W ~ У) + If ^ j/.
s
Из теоремы о расхождении известно, что это количество равно
т. е.
т т
а это и требовалось доказать.
Теорема I. Имеем потенциал, распространенный на конечный объем Т (и
целиком на конечном расстоянии)
U--
¦ДГ?
где плотность V (в точке у', s') предполагается ограниченной и
интегрируемой. Известно, что V обладает непрерывными первыми
производными. Обозначая через d12 расстояние между двумя точками М1 (хи
yv гх), Мп (ж2, у2, г2) области Т и через л некоторую вещественную
постоянную, взятую между О и 1, будем иметь неравенства:
СИХ (max ! ?1) х <*\а
и аналогичные, где А надлежащая постоянная, которая зависит
с А и ди
только от вида поверхности о и от Л. Иначе говоря, удовлетворяет
условию ((70[ЛГ)-
В самом деле, построим сферу 2> имеющую центр в О, середине отрезка М^М<,
и радиуса dl2 (рис. 56). Пусть Т' внутренний объем этой сферы, 2 ее
поверхность. В изучаемых интегралах мы разобьем объем Т на Т' и Т" = Т-Т
и будем рассуждать, предполагая, что Т целиком внутри Т: в противном
случае, некоторые части интеграла по Т' или 2 будут отсутствовать, что
только усилит наши неравенства.
" 1
0 - г
Производная можем написать:
по модулю меньше
и ясно, что мы
/ 0(1 \ (Т)_ I дЦ \ \ дх j, [ дх )
(Г)
Iff?-
где г в правой части означает или расстояние подвижной точки М от точки
Мг или от Л/2, что, очевидно, в обоих случаях дает одинаковый результат.
Беря за г расстояние М^М и переходя к полярным координатам г, 6, (r) с
центром в Mv будем иметь:
///$-/// sin d dv dQ dtp (конечное число) X ^12"
т г
3
так как в объеме Т, г меняется от 0 до ~^-dn.
А
Следовательно, часть, происходящая от Т' в рассматриваемом выражении,
дает неравенство:
дх /2
< (конечное число) X (max IФ X ^ia- (!)
Перейдем к той части, которая происходит от Т". Очевидно, можем написать:
(пчж-Пи^
М, Т"
где dS элемент прямой (точка М здесь внешняя к объему
Т",
диференцирование под знаком суммы не вызывает опасений). И так как
927 (
вторая производная -g-~dg [линейная и однородная комбинация из
927 0а7 02-~Л j /
производных ~^г, J имеет порядок -Ли определенно
меньше - будем иметь: гз J
I IТ"
I ~ (w)21 ^(конеч11, пос,г-) du X(max i5 I)x
X(ma xj J наЖуЩ. (2)
Tn
Здесь мы должны опереться на предыдущую лемму. Мы, очевидно имеем, прежде
всего:
где X число, заключенное между О и 1; и так как в Т" расстояние г d
остается больше " когда точка М (х, у, е) есть какая-нибудь точка
Jt
отрезка М2М,2, будем иметь
1 ^ 21-*
следовательно
ЯС^Р/Я^
m/t ijiii
и в силу нашей леммы, "1-х
2 1 f (* р cos г%" , р (* cos т, \
<; (конечн. пост.) X
(3)
Так как на всей S и 2 величина *• остается меньше некоторого заданного
конечного количества В, то тогда имеем:
/тч/
doi ¦ г
х к
где Лш - телесный угол, под которым виден из точки М элемент do,
следовательно:
I//
cos г", ~3+г
do
4"Х^1 Л = конечному количеству.
Такое же совсем элементарное рассуждение распространяется на интеграл по
S, если только сумма абсолютных значений телесных углов, под которыми
видны все ее элементы, остается конечной.
Из (2) и (3) следует, что
I т*
(4)
J I < конечн. ноет. X max j 11X
и, следовательно, складывая (1) и (4):
|(ir)1-(-5r)J<-1XIn"|l|i"'
что и требовалось доказать.
Можно тогда сказать, что U удовлетворяет условиям (С^Р) при подходящей
постоянной Р.
-- плотность (конечная) удовлетворяет неравенству (С0|Р), т. е.
неравенству вида:
I ' ^ (p'if У2' *Я) I Bd^<2 > (б)
где В конечное количество и X постоянная, заключенная иежду О и 1, то
тогда вторые производные U удовлетворяют неравенству
(6)
и аналогичным, где сг и с2 две конечные постоянные, зависящие лишь от
вида поверхности S и числа X.
Для доказательства мы, как и прежде, разделим объем на две части с
