Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
совпадали; действительно, поверхность S0(t -|- dt) представляет в момент
t0 место частиц, находящихся в момент t-f-dt на поверхности S(t-\-dt).
Напомнив эти определения, рассмотрим функцию /', (ж, у, з, t), вполне
определенную в момент I, со стороны 1 поверхности S, непрерывную там
вместе со своими первыми производными, и предположим, что fx и ее
производные стремятся к определенным значениям, когда точка (ж, у, з)
стремится к какой-нибудь точке S, оставаясь со стороны 1. При этих
условиях Лдамар отмечает тот существенный факт, что формула обычного
диференцирования функции/^, применимая, очевидно, в области 1 остается
применимой и на самой поверхности S. Этот факт не очевиден a priori, так
как, собственно говоря, на S нет частных производных.
Все сводится к тому, чтобы показать, что, обозначив через ж0, у0, з0
точку
Я/*
на "S' и через , ..., предельные значения производных fv когда
OXq
точка ж, у, з стремится к ж0, у0, з0 со стороны 1, имеем формулу:
dxо ЭД dy0 ЭД ds0 ds дх0 ds ду0 ds ' дз0 ds '
откуда скорость перемещения
у- *L_. dt
где s означает неременную (например, дугу), определяющую положение точки
М0 по какому-нибудь пути, принадлежащему 8. Но эта формула не отличается
от формулы диференцирования сложной функции, и хорошо известный
элементарный метод ее получения состоит в том, что мы берем две соседние
точки М0 и М'0, принадлежащие рассматриваемому пути, и вводим
вспомогательный путь, образованный отрезками, параллельными координатным
осям; затем применяем теорему о конечных приращениях к каждому из
отрезков. Но среди линий, определенных таким образом, найдется вообще, по
крайней мере, одна, которая целиком лежит в рассматриваемой области 1 и
которая позволяет, следовательно, применить классическое рассуждение.
Отсюда и получается требуемый результат.
Как показал Адамар, можно связать эту теорему также с одним замечанием,
сделанным Painlevo (Annales de FEcole Normale sup., 1887, 1-re partie,
Chap. II, n° 2), заменяя рассматриваемый путь на S близким путем, лежащим
внутри области 1, и проделывая затем непрерывный переход к поверхности 8
(см. Lecons Hadamard'a, p. 83).
Пусть тохда 8 поверхность разрыва первого порядка и 80 ее отображение,
взятое в момент t0: уравнение 80, как и выше, имеет вид:
F(a, Ь, с, f) - 0.
Но предположению х, у, г суть непрерывные функции а, Ь, с, I, но их
частные производные разрывны, когда х, у, з проходит через S, или когда
точка (а, Ь, с) проходит через 80, Пусть ф, (а, Ь, с, t) и 4, (а, 6, с,
t) две определенные функции, допускающие частные производные
соответственно в областях 1 ж 2, отделенных поверхностью 80 и совпадающие
на 80, в том смысле, что предельные значения и &2 одинаковы, если
приближаться ж S0 с той или с другой стороны.
При этих условиях разность
8,> = ^2 -
вевде равна нулю на 80 и тоже для ее диференциала, который может быть
вычислен обычным диференцированием в силу теоремы, которую мы только что
напомнили. Мы имеем следующие формулы:
до<Ь " 9<1 да да '
обе части этого равенства представляют, очевидно, разность
^2 9^1
да да
в точках S0.
Установив это, Адамар разделяет условия на две категории: условия
тождественные и условия кинематической совместимости.
Тождественные условия. 1. Рассмотрим момент L По предположению функция Ф
= % или смотря по области, остается непрерывной при переходе через S0 в
этот момент. Имеем, следовательно, deb = О везде на S0, т. е.
й^йа4.з#"1й + г^йв = п
да db ' де
при всяких da, db, dc, на S0, т. е. удовлетворяющих условию:
dF tdF dF -г- da -4- тгг- db 4- -гг- de = О. да db ' дс
Отсюда следует, что кояфициенты в обоих уравнениях пропорциональны, т. е.
, * дЬ
а!ь *~дс I)
9/' 8F дЬ_
да дЪ дс
положив, как и выше: h
и имея в виду ввести направляющие косинусы нормали к <S'0. Эти формулы
показывают, что разрывность вектора grad ф есть разрывность нормальная.
Взяв за О поочередно три функции х, у, видим, что три количества X, р.,
v, играющие роль б, будут достаточны, чтобы определить разрывы девяти
частных производных по а, Ь, с. Вектор (X, p., v), полученный таким
образом, был введен Адамаром.
Условия кинематической совместимости. Пусть теперь меняется время /, и
предположим, что разрывы распространяются в виде поверхности S.
Попрежнему имеем Зф = О и, следовательно,
dbx = О,
даже если i переменное, и это для всех зпачепий четырех переменных,
удовлетворяющих условию
F (а, Ъ, с, t) = О.
Теперь, следовательно, имеем одновременно:
и, следовательно, в силу уже полученных условий:
g йф 9 SF
dt h dt
Принятое обозначение , чтобы записать частную производную по t,
at
объясняется тем, что эта производная берется при а, Ь, с постоянных,
т. е. следуя за жидкой частицей х, у, г в ее движении.
тт . ^ dx dy ds
Для Ц = х, у или z входящие сюда величины будут -г- , --, ,
at at dt
т. е. проекции скорости и, v, w жидкой частицы. Будем, таким образом,
иметь в этом случае:
" X dF p. dF v дЕ
8" = Т1Г' 0V = T!t' b = w~hW
