Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
кольца, q и г при этом близки к q' и s'. Эта трудность, естественно,
проистекает из фиктивности понятия бесконечно тонкого кольца.
Так как производная-^ очевидно содержит множителем (г - г), то, как
видим, я обращается в нуль во всей плоскости кольца (само
кольцо оставляем в стороне). Отсюда следует, что радиус кольца остается
неизменным; в противном случае соседние частицы, в плоскости я - г',
имели бы радиальную скорость s, отличную от нуля. Таким образом, кольцо
переносится параллельно Ог, не меняя радиуса. Однако, форма бесконечно
малого сечения do' может очевидно меняться. Вторая формула (13) позволяет
узнать w. Применяя .чту формулу
I
к самому центру кольца, находим легко w0= ,-^т, но вычисление
(дающее неопределенность, проистекающую от частного значения 2 = 0) может
быть избегнуто применением общих результатов. Всякий элемент объема d~'
кольца вносит в выражение скорости точки О по иапра-
d-J
2*2*
влению Оз величину Q'g' .. Скорость точки О, следовательно,
I
~ ,2r.q'do':
27С2'2 1 2q' '
Поставим задачу отыскать скорость перемещения кольца в направлении Оя.
Для этого мы преобразуем выражение ф. Ясно, что положив
s = тс - 2<р,
7.2--------------------------- <- 1
" (*-*')" + (" +<7О2 ^ '
будем иметь:
Л
(14)
2 тс J У1 - sin2 са 2 тс
о
определяя Н уравнением
ТС
И==1с I (15)
,/ У\- A-2sin2cp
О
Мы пришли к вычислениям с эллиптическими функциями с модулем к, только
что определенным; дополнительный модуль к' получаем из соотношения:
у* - у _ *е _ (г- ^-f (2 - <?Ог п 6)
к "1 1 ~ (*-?)* +(а+ ( }
и, еледовательно, имеем:
МЛ 1 ~ ~МВ'
если обозначить через А и В точки пересечения кольца с плоскостью ЮМ.
Если поместиться вблизи вихря, то ? близко к нулю и к к единице, а
интеграл Н, данный (15), становится тогда очень большим. Легко образовать
его главную чють, замечая, что если положить
; f-??====-lgF + Ig(^+l),(17)
J Vl~ A:2 sina ср J У?*-\-?"°
то разность
2
! sill2 <Р - sill <Р - L
У~1 - к2 sin2 9
ТТ - X = Т j' 2,Ь (18)
остается конечной при 1: - 1, так как числитель подинтегральной функции
обращается в нуль при <р== у.
Но такой путь не дает полной гарантии. В самом деле, чтобы получить
ЭД 9Д
скорости, нам нужны главные части производных ~ и для использования их в
формуле (13), следовательно, мы должны больше заботиться о частных
производних от ТТ, чем о самой функции ТТ. Мы легко убедимся, что
выражение
Н = - lg ? + (конечное количество при ? = 0) (19)
достаточно для правильного вычисления главных частей скоростей. Мы
отметим в дальнейшем, насколью это рассуждение необходимо и как его
результат мало очевиден на первый взгляд.
Введем здесь классические количества:
1\ = ( ¦ .- ^ -¦¦¦¦¦¦ , Е- f У1 •-sin'-f d(r).
О о
Простая комбинация дает
Теория же эллиптических функций позволяет написать уравнения:
Ь'ч 1 я
Е - 1 - ------------------
4 64
(см., например, Tannery и Molk, формулы СХХП, Ш. Так как мы имеем
2-_l+|7/o+i _
то можем написать:
Н = ...] о-*'-(-" (20)
члены, заключенные в р., содержат либо члены с ?1,\ либо члены с ?%р+г\%?
(где р целое положительное число или нуль).
Имея все это, рассмотрим частные производные от а. Непосредственно
находим формулы:
д lg ? 4qq' (г - г')
~дГ ~ [(г - SJ- + (2 - Ч'Л [(и - О5 + (q + q')*] ' д lg ? q -
q' q-j- q'
~ST ~ {? - *02-f (q - 4'f ~ (* - 0'2+(? + </)* '
(21)
,. d lg /;' 7, d lg ? показывающие, что произведения /с -остаются
конечными, когда точка (.?, q) приближается к (?', г/), т. е. когда ?
стремится к нулю.
Отсюда следует, что члены, входящие в р., будут вносить в И величины,
которыми можно пренебречь сравнительно с тем, что произойдет от члена -
lg?. Следовательно, вычисление, основанное на формуле (19), вполне
приемлемо.
При условии принятого приближения мы видим, что для ф, согласно (14),
имеем
= 1вУ+ ••• (22)
и получаем:
_ 1 Ц __ I л/~Y dlg?
Yi
w =
q dz 2 it J/ q dz
10* i ,/F, i , fY ьig?
*fUg?-±-yfY-
q dq 4icq у q '2к у q dq
(23)
Применим эти формулы для нахождения скорости распространения вихревого
кольца. Назовем через е бесконечно малый радиус сечения и возьмем формулы
(23) в точке q - q', г = s' -|- а, используя уравне-
е
ния (21). Находим тотчас же, что ? эквивалентно - > , и получаем
2q
для скорости го
,ri = - ^ 7j~>- j + конечные члены, (24)
Мы находим, следовательно, что скорость распространения очень велика
(положительна, одновременно с I). Это обстоятельство нам говорит, что
давление будет бесконечно велико, отрицательно, в непосредственной
близости кольца, предполагаемого очень тонким. Следовательно, бесконечно
тонкое кольцо физически неосуществимо, и мы в дальнейшем должны развить
теорию кольца конечного сечения, имея в виду вычислить давление и
установить, при каких условиях последнее будет приемлемо.
Случай Еонечного сечения. Ради определенности мы будем предполагать, что
имеем дело с единственным вихревым кольцом, сечение которого в
меридианальной плоскости гОх представляет собой простую область D,
