Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
обстоятельства, сопровождающие перемещение и деформацию вихревых объемов.
Ради определенности мы предположим, что в момент t0 имеется единственная
односвязная вихревая область Т0, ограниченная поверхностью S0; метод
легко может быть обобщен, если имеется несколько таких областей. Объем Т0
может быть гомеоморфен сфере, тору или любому объему данного вида,
односвязному или многосвязному.
Эта задача была предметом глубокого исследования Lichtenstein'a (Math.
Zeitschrift. В. 23, 1925, p. 89 -154), и вот в точности те гипотезы,
которые мы примем, и результаты, к которым пришел ученый геометр.
Гипотезы. Мы будем предполагать жидкость идеальною ж неограниченною.
Могут быть в наличии внешние силы: тогда, допустим, они будут иметь
потенциал U(х, у, г, <), непрерывный, вместе со своими частными
производными нож, у, в. Для R ( = )/ж2 -(- у2 -f- г2 ) бесконечного
1
мы допустим, что частные производные стремятся к нулю как .
На бесконечности давление будет задано как известная функция
В момент t0 частица (х, у, в) занимает положение (а, Ъ, с).
Скорости и {а, Ъ, с, t0), v(a, Ъ, с, t0), tv (а, Ъ, с, t0) будут также
данными функциями (а, Ъ, с), мы их обозначим через и0, % tv0; они
обязательно удовлетворяют уравнению неразрывности
Эм0 , д%_ I _0">о_ п
да дЪ ^ дс
кроме того они предполагаются всюду непрерывными, но первые и вторые
производные могут иметь разрывы на поверхности 80, На бесконечности в
момент t0 жидкость покоится; м0, v0, w0 обращаются там
в нуль, как -jp , и их частные производные, первые и вторые, будут
тоже там обращаться в нуль как и . Рассматриваемые вторые
производные удовлетворяют в объеме 7'0 -|- S0 и снаружи условиям вида:
<ca *
12 >
где С и X представляют две положительные постоянные, из которых вторая
меньше 1 (О < X < 1), и где dm означает расстояние между двумя точками
(а, Ъ, с) и (a~]-h, Ъ-\-1г, с -{-1). Сокращенно эти условия обозначим Су
Если (?0, к]0, С0) означает вихрь в (а, Ь, с) в момент t0, то, по
предшествующему, в 7'0 -|- >% (там, где $0, т|0, С0 отличны от нуля)
будут иметь место условия (7, для первых производило
ных --, ... да
Наконец, мы допустим, что если s = f(x, у) изображает поверхность S0, то
вторые производные f удовлетворяют также условиям Сх, которые сводятся
здесь к
-JS & + y+h)-^ (*' у)
< Се -
ната известно из формул Гельмгольца, если обозначить через г расстояние
между двумя точками (х, у, ") и (х', у', я'), то имеются между скоростями
и вихрями в момент t0 соотношения:
2тс ds
%
При всех этих допущениях мы докажем следующую теорему: Можно найти
конечный интервал времени, от t0 до t0 -|- ?*, в течение которого можно
определить скорости и(х, у, г, t), v{x, у, я, t), w(x, у, я, /), везде
непрерывные и на бесконечности обращающиеся
в нуль, как , обладающие первыми и вторыми частными производными,
непрерывными всюду, кроме некоторой поверхности S (имеющей тот же
топологический характер, как и S0y, при переходе через эту поверхность S,
рассматриваемые производные могут претерпевать скачки. Если 7J и Те
обозначают соответственно внутреннюю и
* о
внешнюю области по отношению к S, то вторые производные , ...
удовлетворяют условию Сх. Первые производные на бесконечности
ib :
Всюду будем иметь:
будут обращаться в нуль как вт0Рые производные как
ди , dv . dw______
дх * ду дг
При t = 10 величины и, v, го обратятся в и0, v0, w0. Поверхность S будет
в каждый момент местом частиц, находившихся на S0 в момент /0. Это
условие необходимо, так как мы внаем, что вихревая поверхность является
жидкой поверхностью, которая не перестает быть
вихревой поверхностью; поверхность же S0, очевидно, является
такой
поверхностью.
Ясно, что траектория частицы, находившейся в (а, Ъ, с) в момент t0, может
быть получена интегрированием уравнений
= у, g, t) (1)
с начальными условиями х = а, у = Ъ, г = с, при t - Ц, и мы сможем
выразить координаты частицы (х, у, г) в функции переменных
Лагранжа а, Ъ, с, t. Вводя вихрь, мы должны будем иметь
уравнения:
, , дх , дх . дх
i = Ж + Ъ + ••• * (2)
которые очевидно будут представлять интерес только в объеме Tt. И мы
будем иметь также уравнения
Т( Ti
Совершенно элементарен факт, что если найти х,у,г в функции (а, Ь, с, Од
затем и, v, to и % С, то достаточно определить р интегрированием
соответствующего полного диференциала, чтобы удовлетворить всем
уравнениям гидродинамики. В самом деле, мы имеем
d2x dQ I /гг
что позволяет непосредственно перейти к уравнениям Эйлера и Лагранжа. Но
что касается давления р, то должно ввести дополнительное условие,
касающееся непрерывности при переходе через поверхности S, ограничивающие
вихревые объемы. Мы освободимся от такого затруднения в отношении
давления р, показав дальше совершенно общим способом, что требуемое при
этом условие постоянно выполняется само собой. Пока скажем, что общая
задача, поставленная выше, как мы выясним в дальнейшем, имеет решение и
притом единственное.
Метод, которому мы будем следовать, относительно прост и представляет
