Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
ограниченную кривой С.
Формулы (1) дадут нам очевидно значение давления р. Не трудно,
преобразовав слегка уравнения (1), (2) и (3), прийти к очень простому
подсчету. Прежде всего, простое изменение записи позволяет представить
формулы (1) в виде:
- -l-2Q*o=-
о! '
Ню
-f-2Ss = -
~ ~Ь - (s2 + w2)
-Г
(25)
Исключая р и используя уравнение неразрывности (2), получаем:
_*(r)_Q_Le0
dt q
dq
но, по определению, s = следовательно:
отсюда
dQ 0 dq
q ~dl " HI
Q = Aq,
¦¦ 0;
(26)
где А постоянная, отличная от нуля, одна и та же, для всех частиц внутри
кольца, и равная нулю снаружи кольца, в безвихревой области. После этого
введение ф при помощи формулы (4) дает
ds
ИГ
дю
dt
д
~9q
д_
Is
(s(r) -)- го2) -j- '2 Aii (s(r) + ?o(r)) -f 2 Aty
(27)
Положим в вихревой области:
M==-+4-(sS+*bfli) + a^.
О 2
так что
в = - -(- ~ (s2 -I- К'2)
(28')
вне кольца, и внесем значения (27) в уравнение неразрывности, про-
диференцированное (частным образом) по f, т. е. в уравнение:
для функции Й, выраженной в цилиндрических координатах, в случае когда
эта функция не зависит от угла 0.
Посмотрим, каким условиям подчинена эта функция й. На бесконечности, р
постоянно (можно его выбрать равным нулю), скорость
равна нулю, ф [определенное (9) и (11)] также, так что, пренебрегая
при надобности постоянной, которая не играет никакой существенной роли,
имеем 0 равным нулю на бесконечности. С другой стороны,
согласно (28) и (28'), й испытывает конечный скачок, равный 2Л6
при
переходе через поверхность кольца: она возрастает на эту величину, если
пройти извне внутрь. Наконец, легко убедиться, что производная по
11 самом деле, если мы обозначим по обыкновению через от разность ы; -
in, одной и той же функции в двух бесконечно близких точках с одной и
другой стороны границы, то будем иметь (скорости предполагаются везде
непрерывными):
тогда получим
Но это уравнение Лапласа
ДЙ = о,
(30)
нормали остается непрерывной на поверхности.
ох = он: == 0;
следовательно.
ds " dw
и отсюда
(31)
Если теперь аир означают направляющие косинусы нормали и (например,
внутренней) в плоскости qOs, и если обозначить d~ элемент дуги, надлежаще
ориентированный, то будем иметь, нанример:
ds
dn
ds ds , ds
л=~^+в?
Но, так как s непрерывна на С, 8 нуль и, следовательно, имеем:
" ds
dt '
" ds " ds dq дг " ds
P
dn
ц также
I dw\
'(w)
dw
~дг
dw
dn
- (as Pw) 8
Уравнения (31) дают тогда:
" ds S!t =
8j = -("4-aw)8
Теперь уравнение непрерывности в виде:
9s , dw
ds
dw
dn
dq ' de 1 q ^
дает
, ds
0--------
dq
или, согласно (33) И (33'):
dw
~дг ~
s ds " dw
= 0,
= о.
(32)
(34)
Если помножить уравнения (34) на а и р и сложить, получим:
"9s 9w a0 +
т. е., вводя функцию 0 посредством уравнений (27):
" 90 ,
90
или, наконец:
, 9В , о - = О. дп
Из всего этого следует, что 0 является потенциалом двойного слоя,
плотности ~^г> расположенного на поверхности кольца. Обозначим через rfS
элемент площади этой поверхности, тогда будем иметь:
Л (">
I
и, следовательно, давление р будет дано формулами:
^ ф dS------- (s2 -f w8) - 2И'г (в кольце),
р 2ь 2
(36)
Свойства потенциала двойного слоя обеспечивают нам непрерывность р при
переходе через поверхность кольца.
Так как функция i была уже выражена в виде:
ТС
, - ± Г Г OV Л-' Г_____________________cosede_______________
т' J J J V(s - ~')2+а2 + а'2-2ад'C0R г '
(37)
то мы имеем в руках все необходимые элементы для окончания вычислений.
Говоря физически, результаты будут приемлемы, если только полученные
давления будут везде положительными.
Возвращение к кольцу малого сечения. Рассмотрим вихревое кольцо в виде
тора, полумеридиан которого С имеет центром точку (а, Ь) нлоскости хОг и
радиус г0, предположим г0 малым сравнительно с а. Пусть I интенсивность
кольца. В силу формул
1= f f 2Q 'ds',
с
Q' = Aq', ясно, что будем иметь в точности
I = 2.1 тс аг0й,
так что, в силу (11) и (9), можно ф представить в виде:
6 = ^=-^- Г f g'W Г- cosede . . . _ (88)
2 *2" V J J J V> - ^)а + а2 + ?/2 - Чч' OS 6
Но мы убедились выше, что вблизи кольца имеем (формулы 12, 14 и 19):
cos sds 1
I
У (г -¦ г')2 -\-q2-{- q'2 - 2 qq' COS e Y qq'
1
H-
( - Ig^-{-конечное выражение), (ЗО)
VW
и положив
(s- +
(^-02+(<z+<z')2 '
т. e. обозначив через r1 расстояние
г, = V(i-7y -{- (q - q'Y,
имеем:
n
cos sds. lg r.
/
V (•г - s')2 q2- - - q'2 - 2qq' cos e [/ gg'
¦To
где yt означает выражение, остающееся конечным, когда г и q близки в / Н
q'.
Отсюда мы заключаем, что рассматриваемая нами теперь функция ф выразится:
ч
II i~q' Vs*4 г'+^'2) а°'-
2тt2ar02
с
Но во всех точках круга, по площади которого мы интегрируем, имеем:
з' = " + Ч" где 14 < 1;
отсюда заключаем, что для точек (в, q), близких к кольцу и внешних,
имеем:
Первый интеграл представляет логарифмический потенциал плотности 1,
относящийся к диску С; как известно, он равен
J j ]g/'1do, = irr02]gZ,
где через I обозначено расстояние точки (q, s) от центра (а, Ь) диска С.
