Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 53

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 66 >> Следующая

А
ным, когда линия перемещается как жидкая линия; тогда правая часть
равенства равна нулю, а, следовательно, также левая; и так как мы
предполагаем, что силовая функция непрерывна при переходе S, то оба
значения р в А и В совпадают. Давление, следовательно, непрерывно.
Замечание. Могло бы показаться естественным отыскать доказательство этой
теоремы о непрерывности давлений, основываясь на уравнениях Эйлера и на
формулах Гельмгольца, которые дают скорости в функции вихрей.
Небезинтересно наметить здесь соответствующее доказательство. Имеем, с
одной стороны:
*-dR ,n
ду ds'' ( )
'¦-<ЛГГ....
так как жидкость неограниченна.
С другой стороны, Р, Q, В, являясь объемными потенциалами, непрерывны со
своими первыми производными при переходе 8. Чтобы выяснить разрывы вторых
производных напишем:
где (а, |3, у) направляющие косинусы внешней нормали.
Разрывы вторых производных происходят, следовательно, единственно из-за
разрывов производных от потенциалов простого слоя, например,
SV
Я
do'.
г
S
Но хорошо известно, что только нормальная производная такого потенциала V
разрывна и, как известно, имеем (см. Gouts at, Analyse, IH,
p. 281):
dne dne Будем иметь, следовательно:
д*Р (д*Р\ (д"Р \ 1
т. е.
и также:
дар " д*Р
дх ду . дЧ>
дхдг
ж аналогичные формулы для Q и В
¦ 25"р,
¦ 25ау
Отсюда и ив формул (1) ясно, что нолучается:
"/*"Л-,!±"_8±в=и( р.).
\ дх ) дх ду дх дг
8(^)"2Т(ТЧ-Р0
и, следовательно, так как и, v, tv непрерывны:
5 [и + W|j) - 2C"*-Ь"Р"h""Tf) (T^i - РЧ-
Выясним теперь разрыв 8 ^, и для этого рассмотрим производ-
dt
дР
ную - и аналогичные, полученные в предположении, что х, у, г
постоянзые. Поверхность S, ограничивающая Т, будет тогда двигаться, и мы
получим:
-S-Я/
Т S
где V нормальная скорость с внешней стороны в точке поверхности S
(F^ = a м+р" + ую).
Согласно (1), видим непосредственно, что
8 () = 2С р - 2т) г"е у = 2 (р: - ук]) (<ш + -f ум>),
и, следовательно, получаем:
др др
т. е., что ускорение непрерывно и, следовательно, также ,
др
, чго приводит к тому же результату, что и выше.
Однако, это доказательство, кроме длинноты, имеет некоторое неудобство.
Оно опирается, в самом деле, на теорему о разрывности производных
потенциала простого слоя. Но, как известно, доказательство этой теоремы
предполагает различные гипотезы относительно природы поверхности S и вида
ее уравнения в соседстве с рассматриваемой точкой. Мы получаем, таким
образом, менее общее доказательство теоремы, которую мы имели в виду для
давлений.
К ^
!td'
II
i'K.do
ГЛАВА XI
ОБ ОСНОВНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
Общие понятия. Доказательство основной теоремы, изложенной в
предшествующей главе, требует применения определенных неравенств,
касающихся потенциалов и уточняющих характер их непрерывности. Так как
эти неравенства будут играть существенную роль, мы посвятим настоящую
главу их установлению. Теоремы, которые мы изложим, принадлежат А. Korn'y
[Sur les equations de 1'Elasticity (Annales de ГЁсо1е Normale superieure,
1907, p. 9] и Lichtenstein'y [Ueber einige Hilfsatze der Potentialtheorie
(Math. Zeitschrift, B. 23, 1925, p. 72)]. С целью упростить язык и
запись, мы сейчас сделаем ряд соглашений.
Соглашения и обозначения. Пусть имеем функцию зависящую от положения
точки М [координаты которой, смотря по удобству, мы назовем (ж, у, г) или
(а, Ъ, с)]; две точки Л/, и Д/2 взяты в данной области на конечном
расстоянии; предположим, что функция f удовлетворяет неравенству вида:
I f (xv yv st) - f (ж2, tjv s2) | < Ж,
где d12 представляет расстояние между точками Ми Л/2, X-заданное
положительное число, лежащее между 0 и 1, и N некоторая постоянная. Мы
тогда скажем, что функция f удовлетворяет условию (С0|2V).
Если функция f, в предположении, что она имеет производные, удовлетворяет
совокупности условий:
,Л<2 |^|<2 \df\<Q \df\<Q
I / I ^ И0> I дх I И0> I яТГ I 4>> I я7 I < цо>
дУ
дг
[lfx)-{ddx)\<Q°d(tm)' (w)J<Sod"*
мы скажем, что f удовлетворяет условиям (Ci|Q0), причем индекс 1,
присоединенный к С, указывает, что неравенства касаются функции
и ее первых производных, щие в правых частях группе неравенств:
а число Йп указывает
|/'Е
¦¦ Q
неравенства. Также, если f
пределы, фигурирую-удовлетворяет
дх
(Щ-(Щ
дх2
" -т,
Qdv
где число условий, касающихся вторых производных, равно шести, мы скажем,
что функция f удовлетворяет условиям (<72|а), причем индекс 2 указывает,
что эти условия раснространяются на функцию и ее производные до второго
порядка включительно. Таким же образом определяются условия (С^а) и так
далее.
Совершенно понятно, что существование условий ((7п|а) влечет
существование условий меньшего индекса, при соответствующих значениях
коэфициентов, фигурирующих в правых частях.
Это следует с очевидностью из следующего замечания, для которого
достаточно рассмотреть функцию лишь одного переменного.
Предположим, что функция fix) удовлетворяет условиям (С^ц) в ограниченном
пространстве, а именно:
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed